Topologías coincidiendo en un punto o un conjunto.

Question

Considere un conjunto equipado con dos topologías. ¿Qué significa decir que las dos topologías de coincidir en un punto en el set? Es importante hablar de este concepto en general. Es significativo en el contexto de la métrica espacios?

p.s. Yo sé lo que la relación de la topología es para cualquier subconjunto de un espacio topológico, y este concepto es diferente, como se desprende de este problema.

Answer 1

Me imagino que se refiere al abrir cada barrio de $x$ $\tau_1$ contiene un abierto barrio de $x$$\tau_2$, y viceversa. Esto significa esencialmente que "la continuidad en $x$" es el mismo en cada topología.

Es posible, sin embargo, que la declaración más fuerte es la intención: los barrios de $x$ son los mismos en cada topología.

Hay una bonita manera de definir la "topología" en un punto. Deje $(X,\tau)$ ser una topología y $x\in X$. Definir una nueva topología, $\tau_x$ que tiene como base el singleton $\{y\}$ donde $y\neq x$ $U\in\tau$ tal que $x\in U$. Así que el abrir los conjuntos son cualquier conjunto que no contiene $x$, o cualquier conjunto contienen una $\tau$-barrio de $x$. No es difícil ver que esto es una topología.

En este caso, mi primera definición sería el equivalente a decir, para las topologías $\tau$$\rho$, coinciden en $x$ si y sólo si $\tau_x=\rho_x$.

Ahora, en el entramado de las topologías en $X$, $$\bigcap_{x\in X}\tau_x = \tau$$ So we can recover $\tau$ if we know each $\tau_x$. Then, for a topological space, $S$, we can define a function $f:X\a Y$ to be $\tau$-continuous at $x$ if it is continuous on $(X,\tau_x)$, and it turns out, due to the lattice meet property above, the function $f$ is continuous on $(X,\tau)$ if and only if it is continuous at each $(X,\tau_x)$.

Hay también un simple "gama local de la topología", $\tau^x$ se define simplemente como el $\tau$a abrir los conjuntos que contengan $x$, y el conjunto vacío. Entonces se puede decir que el $f:Y\to X$ es continua "a" $x$ si es continua cuando se utiliza la topología $\tau^x$. De nuevo, podemos recuperar $\tau$ si sabemos ecah $\tau^x$. De hecho, $\tau = \bigcup \tau^x$.

La definición más rigurosa de arriba pasaría exactamente al $\tau^x=\rho^x$. Es cierto que si $\tau^x=\rho^x\implies\tau_x=\rho_x$, aunque, así que tal vez esta definición más rigurosa es razonable.