Explicación combinatoria de por qué $n^2 = {n \choose 2} + {n+1 \choose 2}$

Question

Un ejercicio en el primer capítulo de Matemáticas discretas, elementales y posteriores pide una prueba de la siguiente identidad:

$$ {n \choose 2} + {n+1 \choose 2} = n^2 $$

La solución algebraica me parece obvia, pero no tanto la lógica combinatoria. Creo que el lado derecho se refiere a la elección de uno de n elementos dos veces seguidas para producir un conjunto de dos elementos, incluyendo la posibilidad de que haya elementos duplicados (por ejemplo, se podría elegir el nº elemento dos veces seguidas). Sin embargo, dado que los conjuntos discutidos hasta ahora sí contienen elementos duplicados, es impar interpretar entonces n^2 como una representación de tal conjunto. Tampoco estoy muy seguro de lo que significan las dos partes del lado izquierdo cuando se toman juntas. ¿Cómo puedo pensar en esto intuitivamente basándome en los significados combinatorios de los términos individuales?

Answer 1

Creo que estás buscando más bien una prueba...

n! /(2!(n-2)!) + (n+1)/(2!(n+1-2)! = ¡n!/(2!(n-2)! + (n+1)/(2!(n-1)!) = n(n-1)(n-2)!/(2!(n-2)!) + (n+1)(n)(n-1)!/(2!(n-1)!) = n(n-1)/(2!) + n(n+1)/(2!) = (n^2-n)/2 + (n^2 + n)/2 = 2n^2/2 = n^2

Aunque no es grande para seguir en este sitio, que muestra los pasos para demostrar por qué funciona.