Mostrar que $a = b = c = 0$ $a\sqrt{2} + b = c\sqrt{3}$ es

Question

Esta es la siguiente pregunta:

Supongamos que $a, b, c$ son enteros tales que

$a\sqrt{2} + b = c\sqrt{3}$

(i) elevando Al cuadrado ambos lados de la ecuación, muestran que $a = b = c = 0$

La respuesta dice que poner la ecuación en la forma siguiente:

si $ab \neq 0$

$\sqrt{2} = \frac{3c^2 − 2a^2 − b^2}{2ab}$

es racional, contradicción y, entonces a = 0 o b = 0.

¿Por qué habría de $a$ o $b$ 0? (Me da que no se puede expresar un número irracional como el cociente de dos números racionales).

Answer 1

Si $a,b \in \mathbb{Z}$, luego $$ 2a^{2} + b^{2} + 2ab\sqrt{2} = 3c^{2}, $$ y, a continuación, \begin{align} (*)\ \ \ \ ab\sqrt{2} = \frac{3c^{2}-2a^{2}-b^{2}}{2} . \end{align} El número de $\sqrt{2}$ es irracional; por lo $ab \neq 0$ conduce a una contradicción, y, por tanto,$ab = 0$. Pretendemos que $a=b=c = 0$; sin pérdida de generalidad, deje $a = 0$ y deje $b \neq 0$. Luego de $(*)$ hemos $|b| = \sqrt{3}|c|$, que, por el hecho de que $\sqrt{3}$ es irracional, muestra que $bc \neq 0$ es absurdo; por lo tanto $bc = 0$. Pero cualquiera de las $b \neq 0$ o $c \neq 0$ también se da el absurdo, por lo $b=c=0$.