La forma cerrada para $ \prod_{k=1}^n (a+k^2) $

Question

Me he encontrado con el siguiente producto: $$ \prod_{k=1}^n (a+k^2) $$ donde $a$ es una constante positiva. Alguien podría sugerir una forma cerrada para este producto? Necesito aproximado de esta para grandes $n$, pero el problema es que $a$ es también de orden de $n$ (que no cambia con $n$, pero es también un gran número).

Answer 1

Sugerencia. Aquí es un enfoque.

Recordemos que, para $z \in \mathbb{C}$, el símbolo de Pochhammer puede ser definido como $$(z)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (z+k)=z(z + 1)(z + 2) \cdots (z + n - 1), \quad n > 1, \quad (z)_0 = 1.$$ Entonces, para $a\geq0$, escribir $$ \begin{align} \prod_{k=0}^{n-1} (a+k^2) &=\prod_{k=0}^{n-1} (k+i\sqrt{a})\prod_{k=0}^{n-1} (k-i\sqrt{a}) =(i\sqrt{a})_n(-i\sqrt{a})_n \quad (i^2=-1) \end{align} $$ y el producto puede ser expresado como

$$ \prod_{k=1}^{n} (a+k^2) =(1+i\sqrt{a})_{n}(1-i\sqrt{a})_{n} \tag1 $$

Añadido. Si usted escribe el símbolo de Pochhammer en términos de Euler $\Gamma$ función, $(1)$ reescribe

$$ \prod_{k=1}^{n} (a+k^2)\! =\!\frac{\Gamma(n+1+i\sqrt{a})}{\Gamma(i\sqrt{a})}\!\frac{\Gamma(n+1-i\sqrt{a})}{\Gamma(-i\sqrt{a})}\!=\!\left|\Gamma(n+1+i\sqrt{a})\right|^2\frac{\sinh(\pi\sqrt{a})}{\pi\sqrt{a}} \tag2 $$

como notado por pbs respuesta, donde hemos utilizado euleriano infinito productos que involucran $\Gamma$.

Entonces, como $n$ es genial, mediante la aplicación de fórmula de Stirling (ver aquí o aquí), se puede obtener los siguientes asintótica plazo:

$$ \prod_{k=1}^{n} (a+k^2) = \frac{2\pi \: n^{2n+1}e^{-2n}}{|\Gamma(1+i\sqrt{a})|^2}\!\a la izquierda(\! 1 + \mathcal{S}\!\a la izquierda(\frac1n\right)\!\right)\! \sim \frac{2\sinh(\pi\sqrt{a})}{\sqrt{a}} n^{2n+1}e^{-2n} \tag3 $$

Answer 2

Su producto tiene la buena forma cerrada $$\prod_{k=1}^n(a+k^2)=\left|\Gamma(n+1+i\sqrt{a})\right|^2\frac{\sinh(\pi\sqrt{a})}{\pi\sqrt{a}}.$$