Complemento de un punto de un Compacto Conectado Espacio de Hausdorff no tiene compacto maximal conectado subespacio

Question

Esta pregunta es una ligera modificación de la versión de Compactos Conectado Espacio de Hausdorff no tiene compacto componente en el complemento de un punto

Deje $X$ ser un Hausdorff Compacto Conectado Espacio. Demostrar que $X∖\{x\}$ no tiene ningún componente compacto (aquí un componente es una máxima conectado subespacio).

(Mi intento es en la cuestión enlazado más arriba)

Answer 1

En esta respuesta el siguiente lema es probado:

Lema

Deje $X$ ser un espacio de Hausdorff y $C \subset X$ tiene un compacto barrio de $K$. A continuación, $C$ es un componente de $X$ si y sólo si $C$ es un componente de $K$

También:

Deje $X$ ser un compacto Hausdorff espacio, $Y$ un subespacio abierto y $Z$ cerrado subespacio. Deje $C$ ser conectado a un subconjunto de a $Y \cap Z$ tal que $C$ es un componente de $Y$ y un componente de $Z$. A continuación, $C$ es un componente de $Y\cup Z$.

que puede ser simplificado a (según el comentario del Hamcke en la respuesta): si $X$ es un compacto en el espacio normal y $Y$ es un subconjunto abierto de $X$, luego de un compacto de componentes conectados de $Y$ es también un componente conectado para $X$.

Esto se aplica directamente a tu pregunta: el $X$ es compacto y normal (sigue de compact plus Hausdorff) y $Y = X \setminus \{x\}$ está abierto, y si $C$ fueron una compacta componente de $Y$ sería uno de $X$, pero esto no puede ser, como el único componente conectado para $X$ $X$ sí.