¿Cuál es la definición de una función con etiqueta?

Question

Siempre veo que la gente de etiqueta de sus funciones, dando un índice. Específicamente tengo este ejemplo:

$Theorem$: No hay una única operación binaria $+:\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ que satisface las siguientes dos propierties para todos los $n,m\in N$

$1)$ $n+1=s(n)$

$2)$ $n+s(m)=s(n+m)$

Nota: la funcion $s$ es dado

$proof (existence):)$ Deje $p\in \mathbb{N}$. Por el teorema de recursión, no hay una única función de $f_{p}: \mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}$ tal que $f_{p}(1)=s(p)$$f_{p}\circ s=s\circ f_{p}$. Deje $+:\mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ ser definido por$ c+d=f_{c}(d)$ todos los $c,d\in \mathbb{N}$. Deje $n,m\in \mathbb {N}$. A continuación,$n+1=f_{n}(1)=s(n)$, que es parte $(1)$, e $n+s(m)=f_{n}(s(m))=(f_{n}\circ s)(m)=(s\circ f_{n}(m))=s(f_n(m))=s(n+m)$, que es parte $(2)$

Así que, aquí estoy confundido porque no sé lo que el subíndice $p$ medios. Puedo ver como 1) un nombre para la función ( y estamos hablando de un universal de la creación de instancias) o 2) lo puedo ver como un parámetro y, a continuación, $f_{p}:\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}$ representa un caso particular de $f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\longrightarrow \mathbb{N}$).

Espero que puedan ver mi punto. Otro ejemplo: "Vamos a $n\in \mathbb{N}$ y definir para todos $x\in \mathbb{R}$ $f_{n}(x)=(n+1)x^{2}$" ¿esto significa $f:\mathbb{N}\times \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$?.

Otro ejemplo: "Vamos a $X$ ser un conjunto. Hablamos acerca de la identidad de la función de $X$ a definirse como $I_{X}(y)=y$ por cada $y\in X$".

En general, ¿cuál es la definición de una función con etiqueta?

Answer 1

Espero que puedan ver mi punto. Otro ejemplo: "Vamos a $n\in \mathbb{N}$ y definir para todos $x\in \mathbb{R}$ $f_{n}(x)=(n+1)x^{2}$ " Hace esto significa $f:\mathbb{N}\times \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$?.

Sí. Aunque a veces es conveniente pensar en la $f_1, f_2, ...$ diferentes funciones, técnicamente, el subíndice es sólo otra variable para la función.

$f_n (x) \equiv f(n,x)$

En tu ejemplo, usted podría haber escrito en lugar de $f(n,x)=(n+1)x^{2}$

El subíndice, como se usa aquí, es un convenciones tipográficas para hacer expresiones más fáciles de leer. El subíndice es generalmente de un número natural como en tu ejemplo. Visualmente es de destacarse como un subíndice.

EDITAR

Otro ejemplo: "Vamos a $X$ ser un conjunto. Hablamos de la identidad la función de $X$ a definirse como $I_{X}(y)=y$ por cada $y\in X$".

Esto es menos clara. Lo que es $X$ un elemento de? No hay ningún conjunto de todos los conjuntos, por lo que el mismo análisis puede aplicar. $I_X$ es sólo la identidad de la función definida en el conjunto $X$. El subíndice es en realidad sólo una parte del nombre de la función en este caso. No creo que hubiera podido cuantificar sobre el$X$$I_X$. En lugar de escribir $\forall X,I (P(I_X))$, por ejemplo, usted podría escribir $\forall X,I (\forall a\in X (I(a)=a) \to P(I))$

Answer 2

El subíndice aquí no tiene ninguna definición formal; por el contrario, es utilizado para ilustrar que la función específica que usted está eligiendo es de alguna manera asociado con el elemento $p$.

Esta es una forma bastante común de la convención; si para cada una de las $x$ en algunos de que usted está eligiendo un objeto, en lugar de elegir una letra diferente para cada uno, sólo subíndice. De esta manera, es claro que

i) los diferentes objetos son todos elegidos en la misma forma (ya que utilizan la misma carta) y

ii) el objeto depende de la elección de $x$.

En un sentido muy real, en el segundo ejemplo, se podría reescribir $f(x,n)$ en lugar de $f_n(x)$, y creo que de $f:\mathbb{R}\times\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$; también se puede pensar de $f_{\circ}$ como una función de $\mathbb{N}$ para el conjunto de asignaciones $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ (tiendo a preferir a pensar que es en este sentido). Sin embargo, en cualquiera de los casos es sólo un formalismo para la misma idea básica de arriba.

Answer 3

Como ha sido señalado por otros ms responden, "no hay ninguna diferencia esencial entre un mapeo:

$$n \mapsto (f_n : \Bbb N \to\Bbb N)$$

y una asignación:

$$f: \Bbb N \times \Bbb N \to \Bbb N,(n,m) \mapsto f(n,m)$$

porque podemos intuitivamente poner $f_n(m) = f(n,m)$ -- aunque sólo la primera descripción es adecuado para el uso de la recursividad teorema. Ahora vamos a investigar lo preciso que "no hay diferencia esencial" se puede reclamar.

Nos deja denotar las cosas un poco más convenientemente; vamos a escribir $\Bbb N^{\Bbb N}$ o $[\Bbb N \to \Bbb N]$ para el conjunto de asignaciones $f: \Bbb N \to \Bbb N$.

A continuación, la asignación de $n \mapsto f_n$ puede ser visto como una "función de los valores de la función" $g: \Bbb N \to \Bbb N^{\Bbb N}, g(n) = f_n$ -- en lugar de $f_n(m)$, por lo tanto (para el propósito de la exposición) escribir la versión formal $(g(n))(m)$ en lugar de $f_n(m)$. Debido a que cada una de las $f_n$ se supone que es una función de $\Bbb N \to \Bbb N$, podemos construir utilizando el teorema de recursión (y este procedimiento es de hecho intuitivamente conectado a universal la creación de instancias, porque nosotros la construimos para que se fija todavía arbitraria $n$).

Si tomamos un poco de un punto de vista más abstracto, vamos a ser capaces de discernir lo que realmente está pasando. Entonces, consideremos $g: X \to Z^Y$ $f: X \times Y \to Z$ lugar; a continuación, la identificación de $(g(x))(y) = f(x,y)$ puede ser explicitado por:

\begin{align} g:X \to Z^Y \quad&\longrightarrow\quad f(x,y) = (g(x))(y)\\ g(x) = f(x,-) \quad&\longleftarrow\quad f: X \times Y \to Z \end{align}

donde $f(x,-)$ es la función de $f(x,-): Y \to Z, y \mapsto f(x,y)$.

Por ejemplo, si $f(x,y) = y^x$, $f(2,-)$ es la función de $y \mapsto y^2$. Básicamente, tratamos $x$ como una constante cuando consideramos $f(x,-)$.

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Por último, hemos de llegar a la principal (es decir, más abstracto) punto: Esta correspondencia entre el $f$ $g$ es realmente muy especial, porque es independiente de lo $X,Y,Z$.

Al hacer esta afirmación más explícita, se introduce un nuevo conjunto de $X'$ y una función de $\alpha:X' \to X$. Además, se definen las siguientes funciones en términos de $\alpha$:

\begin{align} \alpha_1: [X \to Z^Y] \to [X'\to Z^Y],& g \mapsto g \circ \alpha\\ \alpha_2: [X \times Y \to Z] \to [X' \times Y \to Z],& (\alpha_2 f)(x',y) = f(\alpha(x'),y) \end{align}

(Se recomienda jugar con estas definiciones, conectando $x',y,z$ en lugares apropiados, con el fin de obtener una sensación de lo $\alpha_1$ $\alpha_2$ do (es muy intuitivo una vez que penetran la capa de abstracción).)

Ahora el resultado de este conjunto es que si $f: X \times Y \to Z$ corresponde a $g: X \to Z^Y$ bajo la identificación de arriba, a continuación, $\alpha_2(f):X' \times Y \to Z$ corresponde a $\alpha_1(g): X' \to Z^Y$. Para dar un poco de apoyo a la intuición, un enfoque similar se puede dar a demostrar que "no hay ninguna diferencia esencial" entre el$(X\times Y)\times Z$$X \times (Y\times Z)$.

Así que, en esencia, la forma en que $f$ corresponde a $g$" "no cambio" cambiando $X'$ $X$a través de un mapa de $\alpha$; es decir, la correspondencia no afecta a ningún tipo de propiedad que pueden ser capturadas usando funciones (ya hay declaraciones similares para$Y$$Z$, es bueno tratar de la figura de aquellos). Así, esta correspondencia ser "agradable" en la anterior manera precisa, se olvidan a menudo que la diferencia que existe del todo.

Ahora, debe ser tanto intrigado y aún no se ha agotado, yo le aconsejo que usted echa un vistazo a la Categoría de Teoría de la tarde en la matemática de la vida. Permite hacer muchos tipos de "intuitivo" declaraciones acerca de los "naturales de la correspondencia" muy preciso.

Answer 4

Yo no sé cuál es la descripción de la 1, pero esta descripción parece correcto:

2) $f_p$ es un caso particular de $f:N\times N \rightarrow N.$

¿Cuál sería el problema con esta descripción?

Edit 3: Si el caso específico en el cual desea aplicar el Teorema de Recursión, creo que se puede proceder como sigue. Tome $s:N\rightarrow N$. Para cada una de las $n\in N$, definir $f(p,n)$ $ f(p+1,n)=s\circ f(p,n)$ $f(0,n)=n$ (suponiendo que $0\in N$ a simplificar las cosas). Esta $f(\cdot,n)$ está bien definida por el Teorema de Recursión. Ahora, puesto que hemos definido para cada una de las $n$,$f:N\times N\rightarrow N$, como quería.

Edit 2: Ahora en el ejemplo de la identidad, esta formalización no parece correcto. En ese caso, la Identidad sería una función de conjuntos y elementos de ese conjunto de elementos de ese conjunto. El problema es que no podemos definir una función (que yo sepa) en "el conjunto de todos los conjuntos", debido a que no es un conjunto. Así, el subíndice se utiliza de una manera natural. Usted puede pensar en X como pertenecientes a una clase particular de conjuntos (dicen los subconjuntos de a $R$), o usted puede pensar de como no ser una verdadera expresión formal.