Halla el área de un triángulo equilátero dadas las distancias de un punto interior a los vértices

Question

Dadas las distancias de un punto interior a los vértices de un triángulo equilátero, halla el área de dicho triángulo.

Ya he intentado equiparar $\sqrt{3}\times a^2/4$ y la suma del área de tres triángulos interiores al triángulo equilátero formado por líneas dadas. Pero ese planteamiento es hacer una ecuación difícil de resolver.

Cualquier solución que utilice un lenguaje de programación informática también puede ayudar.

Answer 1

Se mantiene la siguiente relación: $$3(p^4+q^4+t^4+a^4)=(p^2+q^2+t^2+a^2)^2$$ donde $p,q,t$ son las distancias de los vértices y $a$ es la longitud del lado del triángulo

Answer 2

Casi la misma pregunta que se hizo y respondió hace un mes, que tiene longitudes específicas para las distancias. No estoy seguro de cómo cambia si las distancias no se especifican, pero esta otra respuesta puede proporcionar información útil de todos modos: Problema geométrico del triángulo equilátero

Answer 3

Según el enlace dado por @Greg (arriba), el área del triángulo equilátero ABC con un punto interior P, será

((sqrt(3) (PA^2+PB^2+PC^2)/4) + 3 (área formada por el triángulo con 3 líneas como PA, PB y PC))/2]]

Answer 4

Dejar $x,y,z$ sean las distancias entre el punto interior y los vértices. $$x+y+z = a\sqrt{3}$$ $$a = \frac{x+y+z}{\sqrt{3}}$$

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$$area = \sqrt{3}\frac{a^2}{4} = \sqrt{3}\frac{(x+y+z)^2}{12}$$