¿La Fuente real de determinar el filtro genérico?

Question

Deje que la preocupación y la Fuente, obligando a $ \mathbb{L} $.

Deje $ G $ $ \mathbb{L} $- genérico más de un c.t.m. $ M $ de ZFC. Vamos $$ x_G := \bigcup \{ \operatorname{madre}(p) : p \G \} $$ ser la Fuente real determinado por $ G $.

Ahora, Jech ("Teoría de conjuntos", 3ª edición, pág.565) reclamaciones $$ G = \{ p \in \mathbb{L}^M : \forall n < \omega \ x_G \mathord{\upharpoonright} n \p \} =: F. $$

La inclusión $ G \subseteq F $ sostiene claramente.

Pero, ¿cómo puede uno mostrar $ F \subseteq G $?

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Es $ F $ incluso un filtro?

Por ejemplo, imaginemos la siguiente situación:

• $ x_G(n) = 0 $ todos los $ n < \omega $,
• hay $ p, q \in \mathbb{L}^M $ tal que
• $ \operatorname{stem}(p) = \operatorname{stem}(q) = \emptyset $,
• en cada nodo de $ p $ los sucesores son exactamente $ 0, 2, 4, 6, \ldots $,
• en cada nodo de $ q $ los sucesores son exactamente $ 0, 1, 3, 5, \ldots $.

A continuación,$ p, q \in F $, pero $ p \perp q $ porque $ p \cap q = \{ x_G \mathord{\upharpoonright} n : n < \omega \} $ no contiene ninguna Fuente de árbol.

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Se puede demostrar (o refutar): Si $T$ es Fuente de árbol y $T'$ es un árbol que no contiene una Fuente de árbol, a continuación, $[T] \backslash [T']$ contiene el conjunto de ramas a través de una Fuente de árbol?

Ok. Ahora, utilizando una densidad argumento de que se muestre la siguiente: Si $p \in G$, a continuación, para cada Fuente de árbol de $q$ si $p, q$ son incompatibles, a continuación, hay algunos $p_1 \leq p$, $p_1 \in G$ y $[p_1] \cap [q] = \phi$. De ello se sigue que si $x_G \in [q]$, $q \in G$ - de lo Contrario, para algunos $p \in G$, $p, q$ son incompatibles, por lo tanto para algunos $p_1 \leq p$, $p_1 \in G$ y $[p_1] \cap [q] = \phi$ lo cual es imposible, porque la $x_G \in [p_1] \cap [q]$.

También quiero agregar un par de comentarios acerca de cómo la situación es análoga a la obligando al azar (y muchos otros forzamientos): En el azar poset $P$, las condiciones son subconjuntos compactos de $\mathbb{R}$ de medida positiva y, por $p, q \in P$, escribimos $p \leq q$ fib $p \subseteq q$. Si $G$ $P$- genérica sobre el modelo de terreno, a continuación, hay una única real $r_G$ que es un miembro de cada conjunto en $G$. Usted puede, a continuación, mostrar que $G$ es el conjunto de medida positiva compacto conjuntos codificado en el modelo de terreno que contengan $r_G$. A lo largo del camino, usted también voy a mostrar que no hay ninguna medida cero Borel conjunto codificado en el modelo de terreno que contiene $r_G$; esto también es suficiente para $r_G$ aleatorios genérico. El análogo de esta para Lavamanos está obligando a que la Fuente real no puede ser una rama de cualquier árbol en el modelo de terreno que no contiene una Fuente de árbol. Tal vez usted puede ahora mostrar que la Fuente de reales son precisamente los reales que no forman una rama de un pequeño árbol codificado en el modelo de terreno donde los pequeños significa que no contiene una Fuente de árbol.

Answer 2

Lema.

Deje $ p \in \mathbb{L} $ y supongamos $ q \subseteq \omega^{< \omega} $ es un árbol que no contiene ninguna Fuente de árbol.

Luego hay un Lavamanos árbol de $ r \in \mathbb{L} $ tal que $ [r] \subseteq [p] \setminus [q] $.

Prueba. Nota:$ [p] \setminus [q] \neq \emptyset $. De lo contrario,$ [p] \subseteq [q] $, por lo que $$ p = \{ x \mathord{\upharpoonright} n : x \in [p] \land n < \omega \} \subseteq \{ x \mathord{\upharpoonright} n : x \in [q] \land n < \omega \} \subseteq q, $$ una contradicción.

Deje $ x \in [p] \setminus [q] $. A continuación, hay algunos $ n < \omega $ tal que $ x \mathord{\upharpoonright} n \notin [q] $. Ahora, $$ r := \{ s \in p : s \subseteq x \mathord{\upharpoonright} n \lor s \supseteq x \mathord{\upharpoonright} n \} $$ es como deseaba.

QED.

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La prueba de $ F \subseteq G $. (Basado en hot_queen la respuesta y comentarios.)

Suponga $ G \subsetneq F $. Entonces nos encontramos con la $ q \in F \setminus G $ $ p \in G $ tal que $ p \perp q $, es decir,$ \forall r \in \mathbb{L}^M \ r \nsubseteq p \cap q $.

Ahora $$ D_q := \{ i \in \mathbb{L}^M : ([r] \cap [q] = \emptyset)^M \} \M $$ es denso bajo $ p $. Para ver esto, fix $ p' \leq p $. A continuación,$ p' \perp q $, lo $ q' := p' \cap q $ no contiene ninguna Fuente de árbol. Tenemos que utilizar el Lema (en $ M $) para encontrar $ r \leq p' $ con $$ \Bigl( [r] \subseteq [p'] \setminus [q] = [p'] \setminus ([p'] \cap [p]) = [p'] \setminus [q] \Bigr)^M, $$ por lo $ ([r] \cap [q] = \emptyset)^M $ y, por tanto,$ r \in D_q $.

Ahora, fix $ r \in G \cap D_q $. A continuación,$ ([r \cap q] = [r] \cap [q] = \emptyset)^M $, es decir, $$ ({\supsetneq} \text{ es bien fundada en el árbol } r \cap q)^M. $$ Pero la noción de bienestar de la fundación es absoluta, por lo $ (x_G \in [r \cap q] = \emptyset)^{M[G]} $ - una contradicción.

QED.