Prueba de explicación de la afirmación de que $\Bbb R$ puede ser dividido en una unión de multitud de conjuntos, donde el conjunto de índices es también innumerables

Question

Considere la siguiente instrucción:

Demostrar que es posible escribir $\Bbb R$ como una unión de $\Bbb R= \bigcup_{i\in I} A_{i}$ donde $A_{i} \cap A_{j}= \emptyset$ si $i\neq j$, $i,j \in I$,y de tal manera que cada una de las $A_{i}$ $I$ son innumerables conjuntos.

Hay una misma pregunta (Los números reales como el uncountably infinito de la unión de distintos uncountably conjuntos infinitos). Y mi pregunta es sobre una de las respuestas de la pregunta en cuestión.

Gracias por Kyle Gannon que da constructiva de la prueba:

Desde $|\mathbb{R}| = |\mathbb{R} \times \mathbb{R}| $, existe un bijection $f$$\mathbb{R} \to \mathbb{R} \times \mathbb{R} $. A continuación, $\mathbb{R} = \bigcup_{a \in \mathbb{R}} f^{-1}(\mathbb{R},a)$ donde $f^{-1}(\mathbb{R},a) = \{b \in \mathbb{R}: f(b) = (c,a)$ algunos $c \in \mathbb{R} \}$.

Esta respuesta es razonable para mí. Pero estoy luchando por demostrar la los hechos que el conjunto $f^{-1}(\mathbb{R},a)$ es incontable, cada una de las $f^{-1}(\mathbb{R},a)$ es distinto el uno del otro y la unión de ellos es el conjunto de los números reales. Todos ellos parecen intuitivamente verdadero para mí, pero yo sólo quiero saber cómo formalmente probar.Yo realmente apreciaría si alguien me puede ayudar. Muchas gracias!

Answer 1

Esto solo dice que el avión es el medio de unión de las líneas verticales de cada una de las cuales contiene una cantidad no numerable de puntos, y todas las líneas verticales son disjuntas. A continuación, la transferencia de esta partición de nuevo a $\mathbb R$ utilizando el misterioso bijection $f$.

En lugar de trabajar con una misteriosa bijection, que se puede utilizar de una manera más efectiva la incorporación de la $\mathbb R$ en un hyperreal campo ${}^\ast\mathbb R$ (obtenido como ultrapower con el conjunto de índices $\mathbb N$) que se sabe que tienen la misma cardinalidad. A continuación, cada galaxia en ${}^\ast\mathbb R$ es incontable, y hay una cantidad no numerable de las galaxias.

Aquí una galaxia es un conjunto de hyperreal números finitos de distancia uno de otro.