¿Cómo de local es la información de una derivada?

Question

Lo he leído mil veces: "sólo se necesita información local para calcular las derivadas". Para ser más precisos: cuando tomas una derivada, en digamos el punto $a$ Lo que estás haciendo es tomar un límite, por lo que sólo tienes que mirar la región abierta $ (a-\delta,a+\delta) $ .

El teorema de Taylor parece contradecirlo: a partir de las derivadas en un solo punto, se puede reconstruir toda la función dentro de su radio de convergencia (que puede ser infinito).

Por ejemplo, considere la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}:x\mapsto \left\{ \begin{array}{lr} x+3\pi/2:& x \leq-3\pi/2 \\ \cos(x): & -3\pi/2\leq x \leq3\pi/2\\ x+3\pi/2& : x\leq-3\pi/2 \end{array} \right.\\$

Wolfram Alpha me dice que $D^{100}f(0)=\cos(0)$ ... Esto debería darnos información más que suficiente para obtener una expansión de Taylor que converja más allá del punto donde $f$ es el $\cos$ función ( $R=\infty$ para $\cos$ así que eventualmente tenemos que llegar allí) ...

Permítanme decirlo de esta manera: Mira el caso límite. Todo lo que necesitas tener para una expansión de Taylor que converja sobre todos los reales son todas las derivadas en 0. Esto te daría exactamente la misma expansión de Taylor que obtendrías para la función coseno, mientras que la función de la que tomamos las derivadas no es claramente la función coseno sobre todos los reales.

Así que mi pregunta es: ¿Está Wolfram Alpha equivocado? Si es correcto, ¿por qué parece violar el teorema de Taylors? Si está equivocado, ¿es porque la región local del dominio que necesita para calcular la enésima derivada crece con n?

Edición 1 : es.m.wikipedia.org/wiki/Taylor%27s_theorem. La versión más básica del teorema de Taylors para una variable no menciona la analiticidad, y es fácil demostrar que el "resto" va a cero a medida que se toman más y más derivadas, de modo que f(x) está determinada en cualquier x por las derivadas de f en 0.

Answer 1

El subconjunto de funciones diferenciables (infinitas veces) que realmente coinciden con su serie de Taylor es relativamente pequeño. Tal función se llama "analítica", y decimos que las funciones analíticas están completamente determinadas por los datos locales en un punto. La mayoría de las funciones que encuentres y que tengan un nombre serán analíticas, como por ejemplo $\cos(x), e^x, \sqrt x$ y cualquier polinomio, así como productos, sumas y composiciones de funciones analíticas.

Hay funciones que son infinitamente diferenciables de forma continua en todas partes, y por tanto tienen una serie de Taylor en cada punto, pero la serie de Taylor en un punto $p$ podría no aproximar la función ni siquiera relativamente cerca de $p$ . Se llaman $C^\infty$ . Las funciones analíticas son, por tanto, un subconjunto particularmente agradable de las $C^\infty$ funciones.

Answer 2

El teorema de Taylor requiere una función, $f:\mathbb R \to \mathbb R$ que sea "k veces diferenciable" Para capturar completamente una onda sinusoidal, su función tendría que ser infinitamente diferenciable en todo $\mathbb R$ . No lo es.