Si $\lim_{x\to \infty}xf(x^2+1)=2$, a continuación, encontrar $\lim_{x\to 0}\dfrac{2f'(1/x)}{x\sqrt{x}}$

Question

Si $\lim_{x\to \infty}xf(x^2+1)=2$, a continuación, encontrar $$\lim_{x\to 0}\dfrac{2f'(1/x)}{x\sqrt{x}}=?$$

Yo : $$g(x):=xf(x^2+1)\\g'(x)=f(x^2+1)+2xf'(x^2+1)$$ Ahora, ¿qué?

Answer 1

Llame a $x^2+1=1/t$. Entonces $$ \lim_{t\to 0^+}\sqrt{1/t-1}f(1/t)=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(1/t)}{(1/t-1)^{-1/2}}=2. $$ El uso de L'Hôpital, si el siguiente límite existe (relación de derivados de la planta alta y planta baja) $$ \lim_{t\to 0^+}\frac{(-1/t^2)f'(1/t)}{\frac{1}{2 \left(\frac{1}{t}-1\right)^{3/2} t^2}}=\lim_{t\to 0^+} -2\left(\frac{1}{t}-1\right)^{3/2}f'(1/t) $$ también debe ser igual a $2$. Pero esto es igual a $$ \lim_{t\to 0^+} -2\frac{f'(1/t)}{t^{3/2}}\ , $$ desde $(1-t)^{3/2}\to 1$. Por lo tanto, el resultado después de es $-2$.

Answer 2

Tenga en cuenta que, dejando $t=x^2+1$, tenemos $$2=\lim_{x\to \infty}xf(x^2+1)=\lim_{t\to +\infty}\sqrt{t-1}f(t)=\lim_{t\to +\infty}\sqrt{t}f(t).$$ Por lo tanto, si el deseado límite existe, entonces, dejando $t=1/x$, \begin{align} \lim_{x\to 0^+}\frac{2f'(1/x)}{x\sqrt{x}}&= \lim_{t\to+\infty}2t\sqrt{t}f'(t) =\lim_{t+\infty}t^{2}f(t)f'(t)\\ &=-\frac{1}{2}\lim_{t\to +\infty}\frac{(f^2(t))'}{(1/t)'}=-\frac{1}{2}\lim_{t\to +\infty}\frac{f^2(t)}{1/t}\\&=-\frac{1}{2}\left(\lim_{t\to+\infty}\sqrt{t}f(t)\right)^2=-\frac{4}{2}=-2 \end{align} donde hemos utilizado la regla de L'Hôpital en la segunda línea.