Natural de isomorfismo se base independiente isomorphisms?

Question

En los cursos de Álgebra Lineal, a veces uno escucha el término "natural isomorfismo" para designar isomorfismo que se comportan como $V \cong V^{**}$ (en el finito dimensionales caso). Generalmente, uno viene a través de la más gruesa de la definición: un isomorfismo $\phi: V \to W$ entre espacios vectoriales que se dice ser natural (o canónico) cuando su expresión no depende de una elección particular de la base. Parece una extraña definición, por decir lo menos, por lo que es tentador buscar una más rigurosa uno en una Categoría de libro de la Teoría. Maclane, por ejemplo, define en primer lugar una transformación natural entre dos functors. Después de eso, es posible demostrar que si tenemos en cuenta la categoría de $Vect_{K}$ finito de dimesional espacios vectoriales, y los functors $Id, dDual: Vect_{K} \to Vect_{K}$, el primero es el functor identidad, y la segunda el functor que se lleva a espacios vectoriales a su doble doble, y transformaciones lineales a su doble doble de tranformations, entonces podemos encontrar una transformación natural entre ellos. Las preguntas son, por tanto:

1. Es cierto que una (collecion de, tal vez) base independiente isomomorphism(s) "induce" un functor $\tau$$Vect_{K}$, de tal manera que existe una transformación natural entre el$\tau$$Id$?
2. Dada una transformación natural entre un functor $\tau$ $Vect_{K}$ y el functor identidad, es cierto que podemos encontrar una colección de base independiente isomorfismo entre espacios vectoriales?

La segunda pregunta parece estúpida, pero yo quería plantear el problema completo. Lo siento por el largo post.

Answer 1

Creo que el primer paso es hacer claro a ti mismo, que la noción de una "base independiente isomorfismo" sólo tiene sentido si el isomorfismo se define "para cualquier espacio vectorial". Así que en mi opinión a pensar desde el principio que el problema básico es si "dos construcciones de plomo naturalmente isomorfo resultados", que trae a la lengua de functors. Tampoco es necesario que uno de los functors es la identidad, hay un montón de otras niza ejemplos. Además, no es necesario ceñirse a isomorphisms, también se puede pensar en una relación natural resultados.

Para ser concretos, considere la posibilidad de la identidad y el bidual. Hay una transformación natural entre estos functors definido mediante el envío de un vector para la evaluación correspondiente mapa. Este es un isomorfismo para finitos demensional espacios, pero sólo una inyección de general de espacios vectoriales, lo que demuestra que la respuesta a la pregunta 2 es negativo. (Más extrema, cero mapas de definir completamente carentes de interés natural de las transformaciones entre cualquier tipo de functors en espacios vectoriales.) Ejemplos de transformaciones naturales de la participación de dos no-trivial functors se proporcionan por el canónica mapa de $V^*\otimes V$ $L(V,V)$que es inyectiva en general y un isomorfismo lineal si $V$ es finito dimensionales. Hay un montón de ejemplos similares (inyectiva en general y de un isomorfismo para finito dimensionales de los espacios relacionados con el álgebra multilineal, por ejemplo, la natural mapa de$S^kV^*$$(S^kV)^*$.

No estoy seguro de qué decir sobre tu pregunta 1. Creo que la mejor manera es ver un functor como una "construcción" que se define general de los espacios vectoriales y como una transformación natural como una forma "natural" para relacionar a dos de tales construcciones. El enfoque sobre la base de la independencia, principalmente, viene del hecho de que el uso de una base es el principal método para violar connaturalidad.