Algebraica y de la combinatoria de prueba de una identidad

Question

Para cualesquiera dos enteros $2 \le k \le n-2$, no es la identidad $$\dbinom{n}{2} = \dbinom{k}{2} + k(n-k) + \dbinom{n-k}{2}.$$

a) Dar una prueba algebraica de esta identidad, la escritura de los coeficientes binomiales en términos de factoriales y la simplificación.

b) Dar una combinatoria de prueba (y la interpretación) de esta identidad.

Por una parte, me dio las combinaciones en factoriales y trató de obtener el lado derecho igual a la de la EPA, que es $\frac{n!}{2!(n-2)!}$. Sin embargo, me quedé atrapado en el tercer paso, con todas las $k$'s y $(n-k)!$'s.

Para la parte b,llegué tan lejos como decir que usted elija 2 niños de n niños a recibir dulces en el lado izquierdo. Veo el $k$ $n-k$ en forma de cuentas para cada uno de los otros a la derecha, pero no se lo puedo explicar en palabras.

Soy bastante nuevo en pruebas matemáticas y cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias!

Answer 1

SUGERENCIA: Para (a), usted tiene

$$\binom{k}2+k(n-k)+\binom{n-k}2=\frac{k!}{2!(k-2)!}+k(n-k)+\frac{(n-k)!}{2!(n-k-2)!}\;.$$

Empezar haciendo un montón de cancelación:

$$\begin{align*} \frac{n!}{(n-2)!}&=n(n-1)\\ \frac{k!}{(k-2)!}&=k(k-1)\;,\text{ and }\\ \frac{(n-k)!}{(n-k-2)!}&=(n-k)(n-k-1)\;. \end{align*}$$

Una vez que hayas hecho esto, el álgebra se vuelve muy sencillo.

Para (b), se supone que hay $k$ niños y $n-k$ niñas. A continuación, $\binom{k}2$ es el número de formas de elegir los dos muchachos, $\binom{n-k}2$ es el número de formas de elegir a dos niñas, y $k(n-k)$ es el número de formas de elegir ... ¿qué?

Answer 2

La parte (a) es sencillo: \begin{align*} \dbinom{k}{2} + k(n-k) + \dbinom{n-k}{2} &= \frac{k!}{(k-2)!2!} + k(n-k) + \frac{(n-k)!}{2!(n-k-2)!} \\ &= \frac{k(k-1)}{2} + k(n-k) + \frac{(n-k)(n-k-1)}{2} \\ &= \frac{k^2-k+2nk-2k^2 + n^2 - 2nk - n + k^2 + k}{2} \\ &= \frac{n(n-1)}{2} = \dbinom{n}{2}. \end{align*}

Answer 3

Parte (b) es también sencillo. El LHS medidas de cuántas maneras hay para elegir 2 bolas de n. Este es el mismo como contar las maneras de elegir 2 de la primera k, o 2 de los últimos n-k, o uno en la primera k y uno en los últimos n-k.