Un subconjunto convexo de un espacio de Hilbert

Question

Suponga que $C$ es un subconjunto convexo de un espacio de Hilbert $H$ ($C$ no necesariamente es cerrado) y $x_0\notin C$. Sea $r=d(x_0,C)$. Demuestre que $\{y\in H\mid\|y-x_0\|\leq r\}\cap C$ tiene a lo sumo 1 elemento.

Quiero usar esta publicación para mostrar que para:$\|x-x_0\|=\|y-x_0\|=r$

Podemos decir que $\|\frac{x+y}{2}-x_0\|=\|\frac{x-x_0+y-x_0}{2}\|

Pero esto es todo lo que pude avanzar. ¿Alguna idea sobre este enfoque?

Answer 1

Usa la ley del paralelogramo: $$2\|a\|^2 + 2\|b\|^2 = \|a+b\|^2 + \|a-b\|^2.$$ Supongamos que $y_1$ y $y_2$ son ambos elementos de $C$ con $\|y_1 - x_0\| \le r$ y $\|y_2 - x_0\| \le r$. Entonces $$\|(y_1 + y_2) - 2x_0\|^2 + \|y_1 - y_2\|^2 = 2\|y_1 - x_0\|^2 + 2\|y_2 - x_0\|^2 \le 4r^2.$$ Dado que $C$ es convexo, tienes $\dfrac{y_1 + y_2}{2} \in C$, de manera que $$4r^2 \le 4 \left\| \frac{y_1 + y_2}{2} - x_0 \right\|^2 = \| (y_1 + y_2) - 2x_0\|^2.$$ Puedes juntar estos resultados para obtener $$ 4r^2 + \|y_1 - y_2\|^2 \le 4r^2$$ de donde se sigue que $y_1 = y_2$.