La evaluación de $\int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2+2x+5} dx$ mediante el uso de análisis complejo

Question

¿cómo puedo calcular

$$\int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2+2x+5} dx$$

con el análisis complejo?

Me siento como im calcular el residuo mal y no puedo llegar a la respuesta correcta. Traté de cortar la rama real $0 \rightarrow \infty$ pero me siento como que estoy haciendo mal. cualquier ayuda es appriciated.

información adicional:

gracias por el aporte todo el mundo es muy útil.

hice venir para el cálculo de la integral

$$\int_0^{\infty} \frac{\sqrt{x}}{x^2+2x+5} dx = i\pi [Res(f,z_1=-1+2i)+Res(f,z_2=-1-2i)]$$

Entonces se da respuesta a esta pregunta es $\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$

Yo era simplemente el cálculo de

$i\pi [Res(f,z=-1+2i)+Res(f,z=-1-2i)] = i\pi \left(\frac{\sqrt{z_1}}{2z_1+2}+\frac{\sqrt{z_2}}{2z_2+2}\right)$

La solución para que

$\frac{\pi}{4} \left(\sqrt{-1+2i}-\sqrt{-1-2i}\right)$

Llego $\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}}$ y yo todavía no sé lo que estoy haciendo mal para que una señal de error.

Answer 1

La integral a lo largo del contorno justo encima del eje real sería $$ \int_0^R\frac{\sqrt{x}}{x^2+2x+5}\mathrm{d}x\etiqueta{1} $$ La integral a lo largo del contorno de rodear el plano complejo en un radio de $R$ estaría obligado por $$ \begin{align} \int_0^{2\pi}\frac{\sqrt{R}}{R^2-2R-5}R\,\mathrm{d}\theta &\stackrel{\hphantom{R\to\infty}}{\le}\frac{2\pi}{R^{1/2}-2R^{-1/2}-5R^{-3/2}}\\ &\stackrel{R\to\infty}{\to}0\tag{2} \end{align} $$ La integral a lo largo del contorno justo debajo del eje real sería $$ \int_R^0\frac{-\sqrt{x}}{x^2+2x+5}\mathrm{d}x\etiqueta{3} $$ La suma de las piezas $(1)$, $(2)$, y $(3)$, y dejando $R\to\infty$, obtenemos $$ \begin{align} 2\int_0^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+2x+5}\mathrm{d}x &=2\pi i\left[\vphantom{\frac{\sqrt{-1-2i}}{-4i}}\right.\underbrace{\frac{\sqrt{-1-2i}}{-4i}}_{\begin{array}{}\text{Residue at}\\z=-1-2i\end{array}}+\underbrace{\frac{\sqrt{-1+2i}}{4i}}_{\begin{array}{}\text{Residue at}\\z=-1+2i\end{array}}\left.\vphantom{\frac{\sqrt{-1-2i}}{-4i}}\right]\\ Y=2\pi i\left[\frac{-\sqrt{\phi-1}+\sqrt\phi}{-4i}+\frac{\sqrt{\phi-1}+\sqrt\phi}{4i}\right]\\[12pt] &=\frac\pi{\sqrt\phi}\etiqueta{4} \end{align} $$ y por lo tanto, $$ \int_0^\infty\frac{\sqrt{x}}{x^2+2x+5}\mathrm{d}x=\frac\pi{2\sqrt\phi}\etiqueta{5} $$