Ampliación de función continua a través de Kan extensión.

Question

Un clásico problema de la topología es la siguiente:

Considere la posibilidad de un espacio topológico del espacio $X$ y un subespacio $ A \hookrightarrow X$. Supongamos que tenemos una función continua $A \to Y$, podemos extender a una función $X \to Y$?

Ahora podemos identificar el espacio topológico con la categoría si su abierta conjuntos, así tenemos:

Supongamos que usted tiene functors $X \to A$$Y \to A$, podemos encontrar un functor $Y \to X$ cierre el diagrama?

• Es posible solucionar este problema utilizando Kan Extensión?
• Topológicamente hablando, ¿qué significa para X ser cocomplete?
• ¿Qué significa para $X \to A$ completa y fiel?

Answer 1

El poset de abrir conjuntos de cualquier espacio es cocomplete, desde abrir conjuntos son cerrados en virtud de la unión, y, de hecho, completa, desde un poset es completo si y sólo si es cocomplete-el encuentro es dada por el interior del conjunto de la teoría de la intersección.

Su diagrama pide un caso de Kan de elevación, no Kan extensión. A mí me parece que la izquierda y la derecha Kan elevaciones en este caso, enviar un subconjunto abierto $U$ $Y$ a el mayor subconjunto de $X$ cuya intersección con $A$ mapas en $Y$, respectivamente, para el más pequeño subconjunto abierto que contiene a la inversa de la imagen de $U$.

EDIT: Esto da una elevación real de $Y\to A$ sobre el nivel de marco, ya que para cada abierto $V$ $A$ hay un abrir$U$$X$$U\cap A=V$. Pero nuestro mapa de la $Y\to X$ generalmente no vienen de una función continua-como no puede, o cada función continua extendería. Para sobrio espacios, los mapas de posets correspondientes a los mapas de los espacios son los de preservar finito cumple y infinitary une. De hecho, parece que el levante $Y\to X$ I construido no conserva todos finito cumple y todas las combinaciones...de al menos dos elementos. Pero no preservar el objeto inicial. Por ejemplo, si $A\to X$ es la inclusión de un círculo en el disco y $Y=A$, luego el ascensor envía el conjunto vacío para el mayor subconjunto de la disco, cuya intersección con el círculo está vacía, es decir, al interior de la disco, por lo que no corresponde a un mapa continuo.

$X\to A$ siendo totalmente fiel significa que cuando $U\cap A=V\cap A$, debemos tener $U=V$. (Que es la plenitud, mientras que la fidelidad es automática para cualquier functor de posets.) Al menos para espacios cerrados puntos esto implica $X=A$, como si $a\notin A$$U\setminus \{a\}\cap A=U\cap A$.

Answer 2

No una respuesta, pero demasiado largo el comentario.

Apuesto a que enterrado en la literatura de categórico-de la topología de la gente hay un par de elementos para abordar una respuesta.

Como Kevin señala claramente que usted está solicitando un Kan ascensor, y el problema es que no hay tal cosa como un "pointwise Kan levante"; pero este hilo y el contraejemplo son un poco instructiva, ya que te dicen que las cosas se ponen un poco mejor en la proarrow equipo de profunctors ${\cal V}{\bf Cat} \to{\cal V}{\bf Prof}$, donde se tiene una fórmula para calcular el derecho Kan ascensor de un profunctor a lo largo de otro, es decir, $$ \text{Rift}_QP \cong \int_x [{\bf X}, {\cal V}](P(-,x), P(-,x)) $$ ($\cal V$naturales transformaciones de$Q(-,x)$$P(-,x)$.)

Usted debe pensar en el 2-functor $(-)_* : {\cal V}{\bf Cat} \to{\cal V}{\bf Prof}$ como una especie de "incorporación" de las categorías en un 2-categoría (semi-)libremente dando un adjunto a cada 1-celular:

• $(-)_*$ a nivel local es totalmente fiel
• cada $\cal V$-functor $\phi$ puede ser considerado como un 1-celda $\phi_*$ ${\cal V}{\bf Prof}$ y no tiene derecho medico adjunto 1-celda.

Espacios topológicos son conjuntos parcialmente ordenados, es decir, los objetos de la 2 categoría $\{0 < 1\}{\bf Cat}$. Algunas personas como cosas similares (aunque en menor generalidad y con un propósito diferente, espero que algunos de los buenos frutos que provienen de una lectura cuidadosa de este y las relacionadas con las fuentes).