La unión de las clases conjugacy de $O(n)$ no es un subgrupo

Question

Deje $O(n)$ ser el estándar ortogonal grupo de bienes de las matrices. Estoy tratando de probar lo siguiente:

$N = \bigcup_{g\in GL_n(\mathbb{R})}g\cdot O(n)\cdot g^{-1}$ no es un subgrupo de $GL_n(\mathbb{R})$.

Sé que si fue un subgrupo entonces era igual a la normal de cierre de $O(n)$, pero no sé lo que es...

Motivación:

Está demostrado aquí que una lineal automorphism $T:V \rightarrow V$ preserva producto interior en $V$ si y sólo si la matriz de $T$ w.r.t arbitrario base es similar a una matriz ortogonal. Yo quiero probar una composición de dos transformación de este tipo no es necesariamente también de ese tipo. (Lo que equivale a probar que $N$ no es un subgrupo, desde el cierre en tomar la recíproca sostiene claramente).

Answer 1

Tenga en cuenta que $N$ es el conjunto de bienes diagonalizable matrices que sólo tienen (complejo) los autovalores de magnitud $1$.

En el caso de $n =2$: vamos a $$ A = \pmatrix{0&2\\-1/2&0} $$ Tenga en cuenta que tanto $A$ $A^T$ son elementos de $N$. Sin embargo, la matriz de $AA^T$ tiene los autovalores $4,1/4$, que no son de magnitud $1$.

Se puede generalizar este contraejemplo considerando el bloque de la matriz de $$ \pmatrix{A & 0\\0 & I_{n-2}} $$ Tenga en cuenta que este contraejemplo todavía funciona si se restringen a la especial ortogonal grupo.