Generar correlaciona números aleatorios: ¿por qué funciona la descomposición de Cholesky?

Question

Digamos que yo quiero para generar variables aleatorias correlacionadas. Entiendo que puedo usar la descomposición de Cholesky de la matriz de correlación para obtener la correlación de los valores. Si $C$ es la matriz de correlación, entonces podemos hacer la descomposición de cholesky:

$LL^{T}=C$

Entonces me puede generar fácilmente se correlacionaron las variables aleatorias:

$LX=Y$,

donde $X$ están correlacionadas valores y $Y$ se correlacionan los valores. Si quiero dos variables aleatorias correlacionadas, a continuación, $L$ es:

$L = \left[ {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ \rho & {\sqrt {1 - \rho ^2 } } \\ \end{array}} \right] $

Entiendo que esto funciona, pero yo realmente no entiendo por qué... Mi pregunta es: ¿por Qué funciona esto?

Answer 1

La correlación especificada, C, puede tener el elemento negativo, correlación negativa, es decir. Pero, C, debe ser positiva definida a una matriz adecuada corr.. Por ejemplo [1 -0,9 -0,9 0,5 1 -0,1 -0,1 0,5 1] es aceptable, pero 0,9,-0.5,0.1 (en todos los lugares) produce una matriz definida negativa, entonces no vale. En realidad, todos los valores positivos tendrá el efecto que el signo de la segunda variable aleatoria cambia.