Convergencia de las series armónicas alternas

Question

Consideremos la serie armónica alterna $S_n = 1-\frac12 + \frac13 - \cdots + (-1)^n\frac1n$ .

Reordenando sus términos, obtenemos $S_n = (1-\frac12)-\frac14 + (\frac13-\frac16)-\frac18 + (\frac15-\frac1{10})-\cdots$ .

Esto equivale a $S_n = \frac12-\frac14 + \frac16-\frac18 + \frac1{10}-\cdots$ .

Al extraer $\frac12$ como factor común, obtenemos:

$S_n = \frac12(1-\frac12 + \frac13-\frac14 + \cdots)$ . Así que en esencia, $S_n = \frac12 S_n$ , por lo tanto $1=\frac12$ .

He leído el artículo de la wikipedia sobre las series de Riemann y a grandes rasgos lo que entiendo es que si la serie converge, podemos reordenar los términos y obtener cualquier otro número, o incluso divergir. ¿Cuál podría ser una explicación aceptable de la paradoja? Obviamente 1 no es igual a $\frac12$ ¡! ¿En cuál de los pasos anteriores se encuentra el error?

Answer 1

Parece que sólo está considerando sumas parciales $S_n$ de ahí que las consideraciones sobre la convergencia (absoluta) y los reordenamientos estén fuera de lugar.

Sin embargo, si haces explícito el "⋯" de tu post, verás que no se llega "en esencia" $S_n=\frac12S_n$ . Por ejemplo, $$S_{10}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\frac17-\frac18+\frac19-\frac1{10}$$ de ahí que la reordenación de los términos que usted sugiere produzca $$S_{10}=\left(1-\frac12\right)-\frac14+\left(\frac13-\frac16\right)-\frac18+\left(\frac15-\frac1{10}\right)-\color{red}{0}+\left(\frac17-\color{red}{0}\right)-\color{red}{0}+\left(\frac19-\color{red}{0}\right)-\color{red}{0}$$ cuyo valor no es en absoluto igual a $$\frac12S_{10}=\left(1-\frac12\right)-\frac14+\left(\frac13-\frac16\right)-\frac18+\left(\frac15-\frac1{10}\right)-\color{red}{\frac1{12}}+\qquad$$ $$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+\left(\frac17-\color{red}{\frac1{14}}\right)-\color{red}{\frac1{16}}+\left(\frac19-\color{red}{\frac1{18}}\right)-\color{red}{\frac1{20}}$$ En general, para cada $n$ la reordenación de los términos de $S_{2n}$ se olvida de $n$ términos en $\frac12S_{2n}$ que son iguales a $-\color{red}{\frac1{2n+2k}}$ para $1\leqslant k\leqslant n$ .

Editar: Igualmente, $$S_9=1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\frac17-\frac18+\frac19$$ por lo que la reordenación sugerida da como resultado $$S_9=\left(1-\frac12\right)-\frac14+\left(\frac13-\frac16\right)-\frac18+\left(\frac15-\color{red}{0}\right)-\color{red}{0}+\left(\frac17-\color{red}{0}\right)-\color{red}{0}+\left(\frac19-\color{red}{0}\right)$$ cuyo valor no es en absoluto igual a $$\frac12S_9=\left(1-\frac12\right)-\frac14+\left(\frac13-\frac16\right)-\frac18+\left(\frac15-\frac1{10}\right)-\color{red}{\frac1{12}}+\qquad$$ $$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+\left(\frac17-\color{red}{\frac1{14}}\right)-\color{red}{\frac1{16}}+\left(\frac19-\color{red}{\frac1{18}}\right)$$ En general, para cada $n$ la reordenación de los términos de $S_{2n+1}$ se olvida de $n$ términos en $\frac12S_{2n+1}$ que son iguales a $-\color{red}{\frac1{2n+2k+2}}$ para $1\leqslant k\leqslant n$ .