El uso de la Visualización para el Aprendizaje: $a^0=1$

Question

Honestamente, esta fue una pregunta de un estudiante. Muestro $\forall a\in \mathbb{R}-\{0\}:a^0=1$ para la clase. $$1=\frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0$$or $$a^{m}=a^{m+0}\to a^m=a^m\times a^0\\(a\neq 0) \to cancel \space a^m\\1=a^0$$ después de que el trabajo, uno de los estudiantes le pidió una prueba visual, para dar sentido a más de la prueba. Yo no puede ir más allá. Me pueden ayudar si hay una sensación visual de que la prueba? Gracias de antemano por cualquier idea.

Answer 1

Si quieres una prueba visual de $a^0=1$, intente esto:

Deje $a$ ser cualquier entero arbitrario, en este caso vamos a usar $a=2$: \begin{align} & ~~\vdots \\ 2^3 &= 8 \\ 2^2 & = 4\\ 2^1 & = 2 \\ 2^0 & = ? \end{align}

Seguimos dividiendo por $2$ para encontrar el siguiente menor potencia de $2$. Entonces es lógico a seguir el patrón de $2^0$. Por lo tanto nos encontramos con que $2^0 =1.$ Pruebe esto para cualquier entero.

En general,

\begin{align} & ~~ \vdots \\ a^3 &= n^3 \\ a^2 & = \frac{n^3}{n} = n^2 \\ a ^1 &= \frac{n^2}{n} =n^1\\ a^0 & = \frac{n^1}{n} = n^0 =1\\ \end{align}

Answer 2

Es mejor ahora? (para los estudiantes)

He abierto esta animación para mostrar este concetpt.

$$\large{\begin{align} & ~~ \vdots \\ a^4 &= \frac{a^5}{a}=\frac{a\times a \times a\times a \times a}{ a }=\frac{\not a\times \overbrace{ a \times a\times a \times a}^{4 -a}}{ \not a } \\ a^3 &= \frac{a^4}{a}=\frac{a\times a \times a \times a}{ a }=\frac{\not a\times \overbrace{ a \times a \times a}^{3 -a}}{ \not a } \\ a^2 &= \frac{a^3}{a}=\frac{a\times a \times a }{ a }=\frac{\not a\times \overbrace{ a \times a }^{2 -a}}{ \not a } \\ \\ a^1 &= \frac{a^2}{a}=\frac{a\times a }{ a }=\frac{\not a\times \overbrace{ a }^{1 -a}}{ \not a }\\ a^0 &= \frac{a^1}{a}=\frac{a }{ a }=\frac{\not a\times \overbrace{ a }^{0 -a}}{ \not a }=1\\\to a^0=1\\ \end{align}}$$

Answer 3

Imagen uno:

Un mar lleno de $2$s. Un $5$ $7$ saltar y se moja con $2$s y se convierta en un $10$$14$. Todos los otros números de huir gritando.

Imagen dos:

Un mar lleno de $0$s. Un $5$ $7$ saltar y se moja con $0$s y a su vez en $0$s mismos. Todo el resto de los números son aterrorizados y correr presa del pánico y humectación a sí mismos en un terror abyecto. Pocos son los vómitos porque era tan chocante y desagradable.

Imagen de tres:

Un mar lleno de $?$ marcas. Los números de la mira con temor. Un $13$ se coló detrás de un desprevenido $6$ como sacrificio y se le empuja en. El $6$ sigue siendo un $6$. Un gran suspiro surge de la multitud y todos los números de salto. El número de mantenerse a sí mismos y se divierten en las olas. Una curiosa $9$ con cautela recoge un signo de interrogación y lo mira con una lupa. Bajo escrutinio es ver que el signo de interrogación es de $1$s. Todo el mundo es feliz.

Imagen de cuatro:

Un $5$ es nadar en un mar lleno de la $?$ marcas, pero ahora está claro que ellos son en realidad $1$s. Pero ellos no se parecen a los números de $1$ pero no es sutil sombreado y sugerencias que sabemos que ellos son un poco pequeñas gotas de $1$s.

Otra de las $5$ salta y el tomarse de las manos. Mantenga las manos los que parecen ser una cadena de $5 \times 5$. Por encima de sus cabezas, un fantasma, la escritura aparece declarando $5^2$.

Imagen de los cinco:

Un tercio $5$ salta y se une a los otros dos $5$s y tiene manos para formar una cadena: $5\times 5\times 5$, entonces el fantasma de la escritura se desvanece y reaparece como $5^3$.

Un cuarto $5$ salta y se une y se hace una cadena de $5\times 5\times 5\times 5$ y el fantasma de la escritura wifts de distancia y se convierte en $5^4$.

Imagen de seis:

El cuatro $5$ rompe y se va a tierra, la escritura sobre el resto de la cadena de $5\times 5\times 5$ vuelve a $5^3$.

La tercera $5$ rompe dejando una cadena de $5\times 5$ y por encima del humo de la escritura se transforma en $5^2$.

El segundo $5$ rompe, dejando una sola $5$. La escritura transfigura en $5^1$.

Imagen de siete:

La última $5$ deja el mar, pero el humo de la escritura sigue siendo. Lee $5^0$.

Imagen de ocho:

Hacemos zoom en el cierre de las pequeñas gotas de $?$ /$1$ híbrido de pequeñas partículas de agua. La escritura $5^0$ se convierte poco a poco más sólido. Todos pero el $5^0$ y una sola gota de $1$ de agua se desvanece.

Nos quedamos con un fondo en blanco, la escritura $5^0$ ahora tan sólido como la piedra y negro como el ónix, y el único pequeño pero de aguas cristalinas de color azul gota de $1$ de agua.

Answer 4

Por el bien de la visual, vamos a $a$ ser algunos pequeños, viable número. Digamos, $4$.

Dibujar $a^3$ $a\times a\times a$ sólido rectangular. Mostrar el $64$ unidad de cubos dentro. Y explicar que $a^3$ es contar cuántas unidades de cubos están en el interior.

Ahora animar el cubo grande aplanamiento en una dimensión por lo que se convierte en un $a\times a$ plaza. Mostrar el $16$ unidad de plazas dentro. Y explicar que $a^2$ es contar cuántas unidad de las plazas están en el interior.

Ahora animar la gran plaza de aplanamiento en una dimensión por lo que se convierte en un segmento de recta de longitud $a$. Mostrar el $4$ unidad de sub-segmentos dentro. Y explicar que $a^1$ es contar cuántas unidad de sub-segmentos están en el interior.

Ahora animar la gran segmento de la línea de aplanamiento su última dimensión, por lo que se convierte en un punto. Mostrar el $1$ punto dentro. Y explicar que $a^0$ es contar cuántos puntos están en el interior.

Answer 5

Las curvas de $a^x$ $a^{-x}$ reunirse en $(0,1)$.