Supongamos que tenemos categorías $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ con algunos adjetivos apropiados como local pequeñez junto con un par de functors $F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$$G: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$. Supongamos, además, que para cada par de objetos de $A$ $Ob(\mathcal{C})$ $B \in Ob(\mathcal{D})$ tenemos un bijection de conjuntos $$ \text{Hom}_{\mathcal{D}}(F(A), B) \simeq \text{Hom}_{\mathcal{C}}(a, G(B)), $$ pero decir que no asume a priori que este es un isomorfismo de bifunctors, que es, presumiblemente, la connaturalidad en $A$ o $B$ puede fallar. Es esto posible? Tengo la fuerte sospecha de que lo es, porque connaturalidad parece como una parte esencial de la contigüidad, pero no explícito contador ejemplos? O ¿todas estas contador ejemplos ser bastante construcciones artificiales como finito, categoría, etc?
Como una extensión, supongamos que sabía (a través de algún functor adjunto teorema de) que (WLOG) $F$ lo hizo de hecho tienen un derecho adjuntos. Sería el de arriba bijection ser suficiente para concluir que debe ser $G$, o puede ser que no isomophic functors que de acuerdo con un adjunto par de objetos sólo?
Del mismo modo, si hemos sido capaces de demostrar connaturalidad en (WLOG) $A$, y sabíamos que un medico adjunto existido, existe alguna Yoneda argumento que puede hacerse a la fuerza connaturalidad en $B$?
Estoy seguro de que estos no puede ser demasiado difícil para alguien con experiencia, pero estoy todavía relativamente nuevo en el adjunto functors así que no estoy seguro de que me gustaría confiar en mi propia respuesta, incluso si me atreví a la figura de cualquier cosa.
