Este es el teorema de 12 en el Axioma de Martin por M. E. Rudin.
Lo transcribo aquí con detalles llenos y errores fijos:
Lema: (MA) Supongamos $\mathscr{A}$ $\mathscr{B}$ son familias de cardinalidad $<2^\omega$ de los subconjuntos de a $\omega$ tal que para todo finito $\mathscr{C}\subseteq\mathscr{A}$ y todos los $B\in\mathscr{B}$ la diferencia de $B\smallsetminus\bigcup\mathscr{C}$ es infinito. A continuación, hay un $M\subseteq\omega$ tal que $A\cap M$ es finita para todas las $A\in\mathscr{A}$ $B\cap M$ es infinita para todas las $B\in\mathscr{B}$.
Índice $\mathscr{A}=\{A_\alpha\}_{\alpha\in\lambda}$ $\mathscr{B}=\{B_\alpha\}_{\alpha\in\lambda}$ $\lambda<2^\omega.$
Vamos
$$\mathbb{P}=\{(k,H)\mid k\text{ is a finite subset of }\omega,\: H\text{ is a finite subset of }\lambda\}$$
Y $(k,H)≥(k',H')$ si $k\subseteq k'$, $H\subseteq H'$, y $(k'\smallsetminus k)\cap (\bigcup_{\alpha\in H}A_\alpha)=\emptyset.$
Cualquier innumerables subconjunto de $\mathbb{P}$ tiene dos elementos con la misma primera coordenada. Como $(k,F\cup H)$ está por debajo de los $(k,H)$ $(k,F)$ llegamos a la conclusión de $\mathbb{P}$ es de la ccc.
Para cada una de las $\alpha<\lambda$ $n\in\omega$ definir
$$D_\alpha = \{(k,H)\mid \alpha\in H\}$$
$$E_{\alpha,n}=\{(k,H)\: : \: |k\cap B_\alpha| > n\}$$
Fix $(k,H)$. El $D_\alpha$ son densos como $(k,H)≥(k,H\cup\{\alpha\})\in D_\alpha$. Y el $E_{\alpha,n}$ como la diferencia de $B_\alpha\smallsetminus \bigcup_{\xi\in H}A_\xi$ es infinito y, por tanto, $n$ elementos pueden ser tomadas y unida a $k$.
La familia $\mathscr{D}$ es de cardinalidad $\lambda<2^\omega$ y, por tanto, por la MA hay un conjunto compatible $Q$ que se reúne cada elemento de a $\mathscr{D}$. Definir $L=\bigcup\{k\mid (k,H)\in Q\}$.
Deje $A_\alpha\in\mathscr{A}$ $Q$ cumple con $D_\alpha$ hay algo de $(k,H)\in Q$$\alpha\in H$. Ahora si $a\in A_\alpha \cap L$ $a\in (k',H')$ algunos $(k',H')\in Q$, vamos a $(f,J)$ bajo$(k,H)$$(k',H')$. A continuación,$a\in f$, pero $a\in H$ implica $a\notin f\smallsetminus k$, por lo $a\in k$. Esto le da a $A_\alpha \cap L\subseteq k$ que es un conjunto finito.
Deje $B_\alpha\in B$, para arbitrario $n$ no es un porcentaje ( $(k,H)\in Q$ $|k\cap B_\alpha|>n$ , y por lo tanto la intersección $B_\alpha\cap \bigcup\{k\mid (k,H)\in Q\}$ es infinito.
(MA) Cada conjunto de reales $X$ tal que $\omega<|X|<2^{\omega}$ $Q$- set.
Deje $Y\subseteq X$ ser arbitraria, y $\{U_n\}_n$ ser una contables de base para $\mathbb{R}$. Nos encontramos con un $G_\delta$ $\mathcal{G}$ tal que $Y=X\cap\mathcal{G}$. Índice (permitiendo repeticiones) $Y=\{y_\alpha\}_{\alpha\in\lambda}$$X\smallsetminus Y =\{x_\alpha\}_{\alpha\in\lambda}$, podemos suponer que ninguno de estos conjuntos es vacía. Vamos
$$A_\alpha=\{n\mid x_\alpha\in U_n\}\text{ and }B_\alpha=\{n\mid y_\alpha\in U_n\}.$$
Y vamos a
$$\mathscr{A}=\{A_\alpha\}_{\alpha<\lambda}\text{ and }\mathscr{B}=\{B_\alpha\}_{\alpha<\lambda}.$$
Deje $\{A_\alpha\}_{\alpha\in F}\subseteq\mathscr{A}$ ser un subconjunto finito de $\mathscr{A}$$B_\alpha\in\mathscr{B}$.
Existe un conjunto abierto acerca de $x_\alpha$ disjunta de a $\{y_\alpha\}_{\alpha\in F}$, y dentro de este conjunto abierto infinidad de $U_n$ tal que $x\in U_n$$U_n\cap\{y_\alpha\}_{\alpha\in F}=\emptyset$, por lo $\mathscr{B}\smallsetminus \bigcup\{A_\alpha\}_{\alpha\in F}$ es infinito.
Por el lema hay un $L\subseteq\omega$ tal que para cada a $\alpha$ el conjunto $L\cap A_\alpha$ es finito y el conjunto $L\cap B_\alpha$ es infinito. Definir $L_n = \bigcup\{U_m\mid m\in L, m≥n\} $. A continuación, $\mathcal{G}=\bigcap_{n\in\omega} L_n$ $G_\delta$ estamos buscando: cada elemento de a $Y$ es en todos los $L_n$ (y, por tanto, en $\mathcal{G}$) y cada elemento de a $X\smallsetminus Y$ es sólo un número finito de $L_n$ (y, por tanto, no se en $\mathcal{G}$).
