Cómo mostrar que si $x, y, z$ son números racionales satisfacer $(x + y + z)^3 = 9(x^2y + y^2z +z^2x)$, $x = y = z$

Question

Deje $x,y,z$ racionales
Demostrar que si
$(x+y+z)^3=9(x^2y+y^2z+z^2x)$ $x=y=z$

He intentado esto : Deje $x$ ser el más pequeño de la variable
Escribir $y=a+x$ $z=b+x$
Demostrar $a=b=0$ factorizando la ecuación como la suma de tres cuadrados. alguna sugerencia?

Answer 1

Dado que este es un polinomio homogéneo de ecuaciones con simetría cíclica, WLOG dividir por $z^3$ y el conjunto de $x'\leftarrow x/z$, $y'\leftarrow y/z$. Entonces nos quedamos con el afín cúbicos curva $$(x'+y'+1)^3=9(x'^2 y' + y'^2+x')\text{.}$$ A continuación, soluciones racionales para $(x',y')$ corresponden a racional homogéneos de soluciones $[x:y:z]$ de la ecuación original. Ciertamente, $(x',y')=(1,1)$ satisface esta ecuación, por lo que nuestra estrategia es ampliar en torno a este punto: conjunto de $x\leftarrow 1+u$, $y\leftarrow 1+v$. Ampliando y simplificando (divulgación: he utilizado una CAS), da homogénea de la ecuación cúbica $$u^3-6u^2v+3uv^2+v^3=0$$ (geométricamente, la tangente de cono de la afín a la curva de a $(1,1)$). Esta es una ecuación homogénea: soluciones racionales para $(x',y')$ arriba corresponden racional homogéneos de soluciones para $[u:v]$ aquí. Vemos que $v=0$ implica $u=0$, por lo que asumir que $v\neq 0$, divida por $v^3$, y establecer $u'\leftarrow u/v$. Entonces estamos con la tarea de resolver los afín ecuación cúbica $$u'^3-6u'^2+3u'+1=0\text{.}$$ Soluciones racionales para $u'$ aquí corresponden con rational homogéneos de soluciones para $[u:v]$ por encima. Por el Racional de la Raíz Teorema, cualquier valor racional para $u'$ debe satisfacer $u'=\pm 1$. Pero ninguna de estas es una raíz, por lo que no hay no trivial de soluciones racionales $u'$. Revertir las correspondencias, no hay ninguna que no sea trivial soluciones racionales para $[u:v]$, $(x',y')$, y, finalmente,$[x:y:z]$.

("No trivial" $[x:y:z]$ significa que además de la $[x:y:z]\neq[1:1:1]$.)

Answer 2

Tome $$ x = r-s-t \; , \; \; \; y = r+s-t \; , \; \; \; z = r + 2 t \; , $$ lo $$ 3r = x+y+z \; \; , \; \; 2s = y - x \; , \; \; \; 6t = 2 z - x - y \; \; . $$ Nota: $(x,y,z)$ es un racional triple si y sólo si $(r,s,t)$ es un racional triple. Entonces $$ x^2 y + y^2 z + z^2 x = 3 r^3 + \left( s^3 + 3 s^2 t - 9 s t^2 - 3 t^3 \right) $$ y $$ 9 \left( x^2 y + y^2 z + z^2 x\right) - (3r)^3 = 9 \left( s^3 + 3 s^2 t - 9 s t^2 - 3 t^3 \right) $$ Si, por ejemplo, $t \neq 0,$ dividir por $t^3$, y debemos tener una raíz de $p^3 + 3 p^2 - 9p-3$ que es irreducible. Si $s \neq 0$ el uso de la reciprocidad. Insistiendo racional de los valores, nos encontramos con que tanto $s,t$ son cero, por lo que $$ y-x = 0 \; , \; \; \; 2z - x - y = 0 \; , \; $$ y $$ x=y=z $$ Mientras tanto, el método responde a una simple pregunta, ¿qué tipo de superficie estamos describiendo en $\mathbb R^3 \; ?$ Si tenemos una raíz irracional $p$ $p^3 + 3 p^2 - 9p-3=0$ tenemos algunas otras irracional real $q$ tal que $$ 2z-x-y = q(y-x) \; , $$ $$ (q-1)x + (-q-1) y + 2 z = 0 \; \; , $$ que evidentemente se trata de un plano que contiene la línea de $x=y=z.$ I la mayoría piensa en la superficie es de tres planos, dispuestos alrededor de la línea de $x=y=z$ a igualdad de ángulos, como los radios de un círculo. De hecho, en comparación con los ejes dados por los vectores $v_1 = (-1,1,0)/ \sqrt(2)$ $v_2 = (-1,-1,2)/ \sqrt(6),$ parece que los tres planos se rotan de $v_1$ en la dirección de $v_2$ exactamente a las tres ángulos $40^\circ, 100^\circ, 160^\circ,$ repeticiones en$220^\circ, 280^\circ, 340^\circ,$, por lo que vemos todos los $60^\circ \; .$ $360/9 = 40$ este tiene un poco de verosimilitud.

Día siguiente: confirmación de la naturaleza de la superficie: en primer lugar, se define por la "curva" obtenido por la intersección de la superficie con el plano de $x+y+z = 0,$ como es un "cilindro" más que de la curva con el eje de la traducción de la línea esperada $x=y=z.$ Si $$ x = X + t \; , \; \; y = Y + t \; , \; \; z = Z + t \; \; , $$ nos encontramos $$ (x+y+z)^3 - 9 \left( x^2 y + y^2 z + z^2 x \right) = (X+Y+Z)^3 - 9 \left( X^2 Y + Y^2 Z + Z^2 X \right) $$

El miércoles, finalmente lo consiguió. también Tottenham acaba de marcar en el Juventus en la Liga de Campeones. Las raíces de $\eta^3 - 3 \eta - 1 = 0$ $$ A = 2 \cos \left( \frac{7 \pi}{9} \right) \approx -1.532 \; \; \; , B = 2 \cos \left( \frac{5 \pi}{9} \right) \approx -0.347 \; \; \; , C = 2 \cos \left( \frac{ \pi}{9} \right) \approx 1.879 \; \; \; . $$ Tenemos identidad $$ \color{red}{ (Ax+By+Cz)(Bx+Cy+Az)(Cx+Ay+Bz) = (x+y+z)^3 - 9 \left( x^2 y + y^2 z + z^2 x \right)} $$ lo que confirma que la superficie es tres planos que comparten la línea $x=y=z,$ $A+B+C = 0$

Answer 3

La primera de todas las $x=y=z$ es una solución para la igualdad, por lo que tenemos que demostrar que todas las soluciones aparte de esto no son válidos.

Deje $y=a+x$ $z=b+x$ donde $b,a \in Q$

$(x+y+z)^{3} = 9(x^{2}y + y^{2}z + z^{2}x)$

$\Rightarrow (a+b+3x)^{3} = 9(x^{2}(a+x) + (a+x)^{2}(b+x) + (b+x)^{2}x)$

Por igualando coeficientes, obtenemos,

$\Rightarrow (a+b)^{3} = 9(a^{2}b)$

Ahora vamos a $m= \frac{b}{a}$

$\Rightarrow m^{3} + 3m^{2} - 6m + 1=0$

Deje $f(m)= m^{3} + 3m^{2} - 6m + 1$

Ahora, aquí es un poco de alimento para el pensamiento,

Si podemos demostrar que $b$ o $a$ es irracional , se llegaría a una contradicción, porque $x,y,z$ son números racionales.

Si $\frac {b}{a}$ es irracional entonces cualquiera de las $b$ o $a$ va a ser irracional y llegaremos a una contradicción, que no nos dan otra solución que la $x=y=z$.

Así que, todo lo que tenemos que hacer es demostrar que la cúbico $f(m)=0$ no tiene raíces racionales.

$m^{3} + 3m^{2} - 6m + 1 = 0$

Supongamos que $f(m)=0$ tiene raíces racionales.

Sustituto $m=\frac {p}{q}$ donde $gcd(p,q)=1$ $p,q \in I$

$(\frac {p}{q})^{3} + 3(\frac {p}{q})^{2} - 6(\frac {p}{q}) + 1=0$

$\Rightarrow p(p^{2} + 3pq - 6q^{2}) = -q^{3}$

Sabemos que $gcd(p,q)=1 \Rightarrow gcd(p,q^{3})=1$.

Por lo $p$ debe dividir $-1$

Por lo tanto, los posibles valores de $p$ $\pm 1$

Del mismo modo que podemos escribir ,

$\Rightarrow q(q^{2} - 6pq + 3p^{2}) = -p^{3}$

Por lo $q$ debe dividir $-1$

Por lo tanto, los posibles valores de $q$ $\pm 1$

Las posibles raíces de $f(m)=0$$\frac{p}{q} = \pm 1$.

Pero $f(1)=-1$$f(-1)=9$ .

Por lo tanto, $f(m)=0$ no tiene raíces racionales.

Por lo tanto, $\frac {b}{a}$ es irracional que es una contradicción.

Por lo tanto , $x=y=z$ es la única solución.