Cómo entender el operador exponencial geométricamente?

Question

Considere la posibilidad de la interpretación geométrica de una ortogonal de la matriz, una matriz de proyección, (padre de Familia) reflector, o incluso de la matriz-vector multiplicar en general.

Una matriz toma un vector de un espacio vectorial (después de una base fija) y realiza un escalado, rotación, reflexión, corte, proyección, o una combinación de estos. Esto puede incluir transformaciones afines así. Ortogonal de la matriz representa una rotación. Una proyección de la matriz representa la proyección de un vector sobre un subespacio. Un padre de Familia reflector refleja un vector sobre un eje donde una coordenada puede llegar a ser cero. Un Givens matriz es una rotación con el mismo efecto.

Mi pregunta es, ¿qué es una interpretación geométrica de la exponencial operador?

Por ejemplo, si $P$ es una matriz de proyección, representa la sombra de un vector sobre un subespacio. La propiedad $P^2=P$ se hace evidente. Pero, ¿qué es $e^P$? ¿Qué tiene esto de representar geométricamente? Del mismo modo, el pensamiento de una matriz ortogonal como una rotación, algunas de sus propiedades llegar a ser muy obvio. Siempre es invertible porque rotaciones siempre se puede deshacer. Siempre conserva la norma Euclídea del vector debido a una rotación no puede cambiar la longitud de un vector, y así sucesivamente. Pero, ¿qué hace la exponencial de una matriz ortogonal representan?

---

Anexo

Después de mirar algunos comentarios y contra-comentarios a continuación, permítanme explicar. Después de la configuración inicial (campos, la construcción de un espacio vectorial en la parte superior de la misma, la selección de una base, etc.) una matriz que representa una transformación lineal. Si usted imaginar todas las posibles transformaciones lineales en $\mathbb{R}^3$ o $\mathbb{R}^2$, resulta que ellos representan sólo un puñado de transformaciones geométricas tales como la dilatación, la reflexión, rotación, distorsión, y así sucesivamente. Todas las transformaciones lineales son una combinación de estos. De hecho, la descomposición de valor singular de la existencia de cualquier matriz nos dice que cada transformación lineal puede ser pensado como una rotación, la dilatación, seguida de una rotación.

Para algunas matrices, la transformación geométrica es fácil de ver y fácil de explicar. Por ejemplo, una ortogonal de la matriz representa una rotación. Pensando ortogonal de matrices como este, es "obvio" que siempre debe ser invertible, debe conservar siempre la norma Euclídea, el determinante debe ser $\pm1$ debido a las rotaciones de preservar el volumen, etc. Una matriz de proyección se derrumba un vector sobre un subespacio y se hace evidente que $P^2$ debe ser siempre igual a $P$ para cualquier matriz de proyección $P$.

Mi pregunta es que para una matriz dada $A$, ¿qué $e^A$ representan? Qué representa algo? Hay una declaración general de que se puede hacer, como "la exponencial siempre asigna una matriz ortogonal de la matriz" o "la exponencial de una matriz es siempre una proyección seguida de una dilatación" o algo así? Si no, entonces cuando podemos decir algo y ¿qué podemos decir? Por ejemplo, la exponencial de cualquier matriz siempre es invertible, pero ¿por qué? Esto es fácil de ver algebraicamente por lo que sucede geométricamente? Otro ejemplo, la exponencial de una dilatación es otro de dilatación donde el nuevo factor de dilatación es la exponencial de la antigua factor de dilatación. Bien, lo que si puedo tomar la exponencial de una rotación? Debe ser una dilatación/rotación/cizallamiento/de la reflexión o la combinación de algunos, pero que es en general? ¿Qué acerca de la exponencial de una proyección? ¿Por qué y cómo la exponencial su vez una proyección en una invertible transformación, incluso cuando la propia proyección no es invertible? ¿Y por qué el determinante de la exponencial de la igualdad de la exponencial de la traza?

Answer 1

Para una buena interpretación geométrica, en lugar de sólo exponentiating una matriz de $A$, habría que multiplicar $A$ por un escalar real $t$ y, a continuación, exponentiate, es decir, nos fijamos en $e^{tA}$.

Ahora, si usted lee en las escuelas elementales de álgebra lineal con cuidado, usted se daría cuenta de que no existe el concepto de "gradual" transformación lineal. Por ejemplo, mientras que tiene el concepto de "poco a poco la rotación de un plano de $0$ $90$grado" camino de vuelta en la escuela secundaria, no tenemos un concepto de álgebra lineal. En cambio tenemos una matriz que rota el plano por $90$ grado en un instante paso. El mapa de $f:\Bbb R\to GL(n,\Bbb R), f(t)= e^{tA}$, que nos proporciona una manera formal para discutir gradual de transformaciones lineales.

Como un ejemplo, considere la matriz
$$A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\\ \end{bmatrix},$$ which has exponential $$e^{tA}= \begin{bmatrix} \cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\\ \end{bmatrix}.$$ You should recognise this as the rotation matrix acting on the plane. As you let $t$ increases continuously, you can see that $e^{tA}$ es un giro gradual que actúan sobre el avión.

Al definir una gradual transformación lineal mediante una matriz $A$, $A$ sería conocido como el generador infinitesimal de la gradual transformación lineal. Por un generador, podemos decir que dado cualquier diferenciable grupo homomorphism $g:\Bbb R\to GL(n,\Bbb R)$ (que se puede interpretar como una gradual transformación lineal en $\Bbb R^n$, al igual que la anterior), existe una única matriz cuadrada $B$ tal que $g(t)=e^{tB}$, e $B$ generaría la gradual transformación lineal $g$. Por infinitesimal, nos referimos a que $B$ es obtenida mediante el cálculo de la derivada de $g$$0$, e $g'(0)=B$.

La precisión geométrica significado de $e^A$ lo que depende de las propiedades de $A$ ha de curso. No puedo decir lo $e^A$ es si me puede dar una arbitraria $A$, pero hay algunos famosos ejemplos en los cuales la propiedad de $A$ $e^A$ pertenecen a algunos conocidos de la clase de matrices:

1. si $A$ es sesgar-simétrica, a continuación, $e^A$ es una matriz ortogonal;

2. si $A$ tiene cero de seguimiento, a continuación, $e^A$ ha determinante $1$;

3. si $A$ se divide en bloques, $$A=\begin{bmatrix} B & C\\ D & E\\ \end{bmatrix},$$ with $B$ being a $p$ by $p$ matrix, $C$ being a $p$ by $q$ matrix, $D$ being a $q$ by $p$ matrix, $E$ being a $q$ by $q$ matrix, and $B$, $E$ are skew-symmetric, and transpose of $C$, $C^T$, equals $D$, then $e^A$ satisfies the equation $$(e^A)^T\begin{bmatrix} I_p & 0_{p\times q}\\ 0_{q\times p} & -I_q\end{bmatrix}e^A=\begin{bmatrix} I_p & 0_{p\times q}\\ 0_{q\times p} & -I_q\end{bmatrix},$$ where $0_{m\times n}$ is the $m$ by $n$ matrix, $I_n$ is the $n$ by $n$ matriz de identidad.

Usted puede ver más de estas relaciones entre los $A$ $e^A$ si el estudio de la matriz de la mentira de los grupos.