La Comprensión De Álgebra Lineal Geométrico - Referencia De La Solicitud

Question

Sé geometría y sé álgebra lineal pero cuando entiendo un algebraicas lineales concepto geométricamente, mi cabeza sólo explota y las cosas se convierten en mucho más clara y fácil de entender...por no mencionar más fáciles de recordar o saber sus propiedades y explicar a los demás.

Aquí un par de ejemplos.

1. Ortogonal de matrices - Si usted piensa de una matriz ortogonal como una rotación, a continuación, algunas de sus propiedades son evidentes. Ortogonal de matrices son siempre invertible porque rotaciones simplemente puede ser revertido. Siempre preservar la norma Euclídea debido a la rotación de un vector no cambia su longitud. Ortogonal de matrices de la formación de un grupo es también fácil de ver debido a que es fácil ver en ellos la satisfacción de que el grupo de axiomas.

2. Determinante - El determinante de una transformación lineal puede ser entendido de la siguiente manera. Comience con la (escogido) base de su dominio. Forma de un paralelepípedo. Llamarlo $P$. Tiene un cierto volumen $V(P)$. Ahora aplica su transformación lineal $T$ a la base. Una nueva forma de paralelepípedo $T(P)$ se forma y su volumen en el rango de espacio (integrado en el codominio) ahora es $V(T(P))$. El determinante (en valor absoluto) es la relación del volumen de nuevo a la antigua. Esta forma intuitiva explica, por ejemplo, el determinante es cero para no invertible transformaciones. La dimensión de una transformación siempre será estrictamente menor que la dimensión del dominio, codominio de manera que el volumen de la transformada de paralelepípedo siempre será cero. Siempre me imagino a un paralelepípedo en $\mathbb{R}^3$ derrumbarse sobre un plano. Esto también explica por qué el determinante de una matriz ortogonal es siempre $\pm1$ debido a la rotación de un paralelepípedo de no cambiar su volumen. Además, el tipo de ayuda con el determinante Jacobiano y por qué es el Jacobiano "necesaria" cuando la transformación de las variables.

3. La descomposición de valor Singular - Cada matriz de tener una enfermedad vesicular porcina dice el fantástico hecho de que cualquier transformación lineal puede ser considerado como una rotación, luego de una dilatación (direcciones diferentes por diferentes factores), y luego un giro de nuevo.

4. Matrices de proyección - Imaginar un vector arbitrario de la sombra sobre una línea o un plano. Me imagino a un vector de derrumbarse sobre su sombra y sus propiedades como $P^2=P$ son inmediatas para cualquier proyector operador $P$. Toma esto y correr con ella.

Mi pregunta es, ¿alguien puede apuntar a algún buen material de lectura donde una interpretación geométrica de los distintos conceptos de álgebra lineal se ofrece?

Esto podría ser cualquiera de la clase/notas de clase, trabajos publicados, algo de matemáticas recreativas, o simplemente un buen libro.

Answer 1

Puede resultar un poco off-topic, ya que usted está buscando material de lectura, pero la 3blue1brown canal de YouTube dedicado a este tipo de intuiciones geométricas. Más específicamente, se presenta el concepto abstracto geométricas animaciones, que abarcan desde las redes neuronales para la transformada de Fourier.

Aunque no está restringido a la cuestión, tiene una excelente lista de reproducción llamada Esencia de álgebra lineal que presenta lo que usted busca.

Answer 2

Aquí es algo que yo uso cuando la enseñanza de una introductorio de álgebra lineal curso.

Si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$, luego una línea en $V$ puede ser considerado como cualquier conjunto de la forma $$ \mathcal{L} = \{ x+\alpha y \mid \alpha \in \mathbb{F}\} \subseteq V, $$ en que $x$ $y$ son elementos de $V$ (tenga en cuenta que esto incluye el caso de degeneración de un único punto si $y=0$).

Si $T:V \longrightarrow W$ es una transformación lineal, entonces $$ T(\mathcal{L}) = \{ T(x)+\alpha T(y) \mid \alpha \in \mathbb{F}\}. $$ Por lo tanto, transformaciones lineales mapa de líneas de líneas. (Esta es la explicación que dan de por qué la palabra "lineal" se utilizó en la "transformación lineal'.)

Vale la pena señalar que esta condición no es suficiente para la linealidad: transformaciones afines de la forma $x \longmapsto Ax + b$ también mapa de líneas de líneas.

Answer 3

Una intuitiva punto de vista de la Primaria Teorema de la Descomposición de subespacios propios es considerar una base ortonormales. Por ejemplo, para el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ atravesado por $\left\{\mathbf{\hat{i}}, \mathbf{\hat{j}}, \mathbf{\hat{k}}\right\}$, los subespacios propios son $\mathcal{E}_1 = \mathcal{L}\left(\left\{\mathbf{\hat{i}}\right\}\right)$, $\mathcal{E}_2 = \mathcal{L}\left(\left\{\mathbf{\hat{j}}\right\}\right)$, y $\mathcal{E}_3 = \mathcal{L}\left(\left\{\mathbf{\hat{k}}\right\}\right)$.

Por el primer Teorema de la Descomposición de subespacios propios, $$\mathbb{R}^3 = \mathcal{E}_1 \oplus \mathcal{E}_2 \oplus \mathcal{E}_3$$

Y por lo tanto, cualquier vector debe ser únicamente se expresa por los vectores propios de espacio, en este caso $\mathbb{R}^3$. Para una base ortonormales, es fácil ver por qué la suma directa deberían abarcar todo el espacio, ya que los subespacios propios corresponden a los lineales útil de cada elemento base.

A continuación, debería ser más fácil tener una intuición de lo que está sucediendo para cualquier eigenbasis de $V$ que no es necesariamente ortonormales.

Answer 4

El vector $y-x$ se conecta el final de la $x$ a finales de $y$.