integrar

Question

Cómo integrar
$ 1)\displaystyle \int_0^{2\pi} e^{\cos \theta} \cos( \sin \theta) d\theta$
$ 2)\displaystyle \int_0^{2\pi} e^{\cos \theta} \sin ( \sin \theta) d\theta$

Answer 1

Que $\gamma$ ser la circunferencia unitaria positivamente parametrizados recorriendo una sola vez.

Considerar el $\displaystyle \int _\gamma \frac{e^z}{z}\,dz$.

En la una mano $$\begin{align} \int _\gamma \frac{e^z}{z}\mathrm dz&=\int \limits_0^{2\pi}\frac{e^{e^{i\theta}}}{e^{i\theta}}ie^{i\theta}\mathrm d\theta\ &=i\int _0^{2\pi}e^{\cos (\theta)+i\sin (\theta )}\mathrm d\theta\ &=i\int _0^{2\pi}e^{\cos (\theta )}[\cos (\sin (\theta))+i\sin (\sin (\theta))\textbf{]}\mathrm d\theta. \end {alinee el} $$

Por otro lado le da la fórmula integral de Cauchy : $\displaystyle \int _\gamma \frac{e^z}{z}\mathrm dz=2\pi i$.

$\large \color{red}{\text{FINISH HIM!}}$

Answer 2

$$\int_0^{2\pi} e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta)d\theta=\Re\left(\int_0^{2\pi} e^{e^{i\theta}}d\theta\right)$$

$$I(\lambda)=\int_0^{2\pi} e^{\lambda e^{i\theta}}d\theta$$

$$I'(\lambda)=\frac{1}{i\lambda}\int_0^{2\pi} i\lambda e^{i\theta}e^{\lambda e^{i\theta}}d\theta =\frac{1}{i\lambda}\bigg[e^{\lambda e^{i\theta}}\bigg]_0^{2\pi}=0$$

Por lo tanto:

$$I(\lambda)=\mathcal{C}$$

Tomando el $\lambda =0$ tenemos así $\mathcal{C}=2\pi$:

$$\int_0^{2\pi} e^{\cos\theta}\cos(\sin\theta)d\theta=2\pi$$

Del mismo modo, desde $\Im\, (2\pi)=0:$

$$\int_0^{2\pi} e^{\cos\theta}\sin(\sin\theta)d\theta=0$$

Answer 3

Sugerencia: Si la primera integral se llama $I$ y el segundo se llama $J$

Considerar $I+iJ$

Answer 4

Sugerencia:
$$\cos(\sin{\theta})=\frac{e^{i\sin{\theta}}+e^{-i\sin{\theta}}}{2}$$ así $$e^{\cos{\theta}}\cos(\sin{\theta})=\frac{1}{2}\left(e^{\cos{\theta}+i\sin{\theta}}+e^{\cos{\theta}-i\sin{\theta}}\right)=\frac{1}{2}\left(e^z+e^{\bar{z}} \right) \\ d{\theta}=\frac{dz}{iz},$$ así
$$ \int\limits_0^{2\pi} e^{\cos{\theta}}\cos(\sin{\theta})d{\theta}=\frac{1}{2}\left(\oint\limits_{\gamma}{\frac{e^{z}dz}{iz}}+\oint\limits_{\gamma}{\frac{e^{\bar{z}}dz}{iz}} \right), $$ donde $\gamma$ denota el círculo unidad.
Añadió:
La última integral se puede transformar de la siguiente manera $$\oint\limits_{\gamma}{\frac{e^{\bar{z}}dz}{iz}}=\int\limits_{0}^{2\pi}{{e^{\rho{e^{-i\theta}}}d{\theta}}}=\left|\matrix{\varphi=2\pi-\theta \\ d{\theta}=-d{\varphi} }\right|= \\ =-\int\limits_{2\pi}^{0}{{e^{\rho{e^{i(\varphi-2\pi)}}}d{\varphi}}}=\int\limits_{0}^{2\pi}{{e^{\rho{e^{i\varphi}}}d{\varphi}}}=\oint\limits_{\gamma}{\frac{e^{w}dw}{iw}}.$$