¿Cuál es la mejor manera de resolver una ecuación que involucra múltiples valores absolutos?

Question

¿Una expresión de valor absoluto como $|ax-b|$ puede ser reescrita en dos casos como $|ax-b| =\begin{cases} ax-b & \text{ if } x\ge \frac{b}{a} \\ b-ax & \text{ if } x< \frac{b}{a} \end{casos} $, so an equation with $n $ separate absolute value expressions can be split up into $2 ^ $ n casos, pero hay una mejor manera?

¿Por ejemplo, $|2x-5|+|x-1|+|4x+3|=13$, hay una mejor manera para manejar todas las posibles combinaciones de $x\ge\frac{5}{2}$ $x<\frac{5}{2}$, $x\ge 1$ $x< 1$ y $x\ge-\frac{3}{4}$ $x<-\frac{3}{4}$?

Answer 1

Para una ecuación con $n$ valores absolutos, el $n$ lugares donde cada valor absoluto se divide en 2 casos de dividir el número de línea en $n+1$ regiones donde, dentro de cada región, de cada valor absoluto se puede sustituir por la expresión dentro del valor absoluto o su opuesto. Cada ecuación resultante puede entonces ser resuelto, la restricción de soluciones para la región correspondiente en el número de línea.

En el ejemplo dado,

$\pequeño{\begin{matrix} \leftarrow & -\frac{3}{4} & \text{---} & 1 & \text{---} & \frac{5}{2} & \rightarrow \\ \begin{matrix}-(2x-5)-(x-1)\\-(4x+3)=13\end{de la matriz} & \begin{matrix}|\\|\end{de la matriz} & \begin{matrix}-(2x-5)-(x-1)\\+(4x+3)=13\end{de la matriz} & \begin{matrix}|\\|\end{de la matriz} & \begin{matrix}-(2x-5)+(x-1)\\+(4x+3)=13\end{de la matriz} & \begin{matrix}|\\|\end{de la matriz} & \begin{matrix}(2x-5)+(x-1)\\+(4x+3)=13\end{de la matriz} \\ -7x+3=13 & | & x+9=13 & | & 3x+7=13 & | & 7x-3=13 \\ x=-\frac{10}{7} & | & x=4\noen[-\frac{3}{4},1] & | & x=2 & | & x=\frac{16}{7}\noen[\frac{5}{2},\infty) \end{matriz}}$

Así, las soluciones se $x=-\frac{10}{7}$ $x=2$ (los valores de las soluciones de una ecuación para una región en particular y que estaban dentro de la región).

Answer 2

Esto es simplemente un caso muy especial de la poderosa CAD (cilíndrico algebraica de descomposición) algoritmo para la eliminación de cuantificadores en real de campos cerrados, por ejemplo, ver Jirstrand del documento [1] para una introducción agradable.

[1] M. Jirstrand. Cilíndrico algebraica de descomposición - una introducción. 1995
Informe técnico S-58183, Control Automático de grupo, Departamento de Ingeniería Eléctrica
Linkoping Universidad De Linköping, Suecia.
Disponible gratuitamente aquí o aquí.