Si$f(x)$ es integrable y también diferenciable en$\mathbb{R}$, podemos concluir que$f$ está limitado en$\mathbb{R}$

Question

Si$f(x)$ es integrable y también diferenciable en$\mathbb{R}$, podemos concluir que$f$ está acotado en$\mathbb{R}$, o al menos, existe algún$M>0$, por lo tanto ese $m(\{x:|f(x)| > M\}) = 0$?

Siento que esto debería ser cierto, porque al menos$f$ está limitado en cualquier conjunto compacto ... Pero, ¿hay alguna forma de probarlo o hay algún contraejemplo?

Muchas gracias a cualquier ayuda!

Answer 1

Continuo ilimitado, pero integrable funciones es similar. Como Daniel Fischer dice, si quieres más suave funciones, apaciguar.

En esencia, para una función continua, integrabilidad es una propiedad global y depende del comportamiento de la función en el infinito. La diferenciabilidad es una propiedad local, por lo que no hay realmente ninguna razón para esperar que ellos deben estar relacionados.

Para una alternativa de construcción, vamos a $\psi$ ser su favorito de la protuberancia de la función. Vamos a decir $\psi$$C^\infty$, no negativo, de manera compacta, apoyado en $(0,1)$,$\int_0^1 \psi(x)\,dx = 1$, e $\sup_{[0,1]} \psi = 3$. A continuación, para los números reales $a>0$, $c\in \mathbb{R}$ y $b \ge 1$, la función de $a \psi(b(x-c))$ es compatible en $(c,c+1)$, toma el valor de $3a$ en algún punto de ese intervalo, y ha $\int_{\mathbb{R}} a \psi(b(x-c))\,dx = a/b$.

Ahora vamos a $$f(x) = \sum_{n=1}^\infty 2^n \psi(2^{2n}(x-n)).$$ $f$ $C^\infty$ ya que en cada intervalo de $(n, n+1)$ sólo uno de los sumandos es cero. Y por Tonelli del teorema, ya que todos los sumandos son no negativos podemos intercambio de la suma y la integral para obtener $$\int_{\mathbb{R}} f(x)\,dx = \sum_{n=1}^\infty \int_{\mathbb{R}} 2^n \psi(2^{2n}(x-n)) \,dx = \sum_{n=1}^\infty 2^n/2^{2n} = \sum_{n=1}^\infty 2^{-n} = 1.$$ Por lo $f$ es integrable. Y claramente $f$ es ilimitado, ya que para cada una de las $n$ hay un $x \in (n,n+1)$$f(x) = 3 \cdot 2^n$.

Intuitivamente, $f$ se compone de una serie de suaves golpes marchando fuera hasta el infinito. Cada golpe es doble y un cuarto tan amplia como la anterior, por lo tanto, tiene la mitad del área.

Answer 2

No,$f(x) = x$ es integrable, diferenciable e ilimitado.