Un submódulo de $ \mathbb Z / p \mathbb Z [G] $ sin complemento

Question

Sea $G$ un grupo actuando en un conjunto $X$ de tamaño $n$. Supongamos que $G$ actúa doblemente transitivamente. Si $p$ es un primo, esto da naturalmente una representación por permutaciones en el espacio vectorial sobre $\mathbb Z/p\mathbb Z$ con base $\{e_{x_i}\}$, donde $x_i\in X$. Los elementos en este espacio vectorial se ven como $\sum_i \alpha_i e_{x_i}.

Suponemos que $p$ divide a $n$. Sea $V$ el subespacio de elementos tales que $\sum \alpha_i =0$. Sea $W$ el submódulo generado por $(1,1,1,\dots, 1)$. (Esto es de hecho un submódulo por la forma en que elegimos $p$). Me gustaría demostrar que $W$ no tiene un complemento estable por parte de $G$ en $V$.

Desafortunadamente, parece que no se puede imitar la demostración de la versión recíproca del teorema de Maschke aquí, así que no veo un camino a seguir.

Answer 1

El siguiente argumento funciona siempre y cuando hagamos la suposición extra $p\neq2$.

Supongamos por el contrario que existe un homomorfismo $G$-equivariante $s: V \to W$ tal que $s(w)=w$ para todo $w\in W$. Fijemos dos elementos $x,x'\in X, x\neq x'$. Dado que la acción de $G$ es doblemente transitiva, existe un elemento $g\in G$ tal que $g\cdot x= x'$ y $g\cdot x'=x$. Dado que $W$ es un módulo trivial de $G$ $$ s(e_x-e_{x'})=s(g\cdot(e_{x'}-e_x))=g\cdot s(e_{x'}-e_x)=s(e_{x'}-e_x) =-s(e_x-e_{x'}). $$ Por lo tanto, $2s(e_x-e_{x'})=0$, así que la suposición $p>2$ implica que $s(e_x-e_{x'})=0$. Pero los vectores de la forma $e_x-e_{x'}$ abarcan todo $V$, lo que implica que $s\equiv0$. Esto es una contradicción.

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Si $p=2$, entonces la 2-transitividad da, como arriba, que $$ s(e_x+e_{x'})=s(e_{x''}+e_{x'''})\qquad(*) $$ para todo $x,x',x'',x'''\in X$ tal que $x\neq x'$ y $x''\neq x'''$. Fijemos $x_1,x_2\in X$. Si $n>2$ podemos encontrar un elemento auxiliar $x_3\in X$. Por la ecuación $(*)$ tenemos $$ \begin{aligned} s(e_{x_1}+e_{x_2})=s(e_{x_1}+e_{x_3})+s(e_{x_2}+e_{x_3})=2s(e_{x_1}+e_{x_3})=0. \end{aligned} $$ Esto, una vez más, implica que $s$ se anula identicamente.

Si $|X|=2$, entonces $V=W$.