Si tenemos un revestimiento $p:H\rightarrow G$ $G$ Dónde está un Grupo topológico, entonces $H$ también es un Grupo topológico. La función de multiplicación puede ser definida como sigue. Considerar el mapa $f:H\times H \rightarrow G$ que es una composición del mapa $p\times p$ y la función de multiplicación en $G$. Elegir $h\in p^{-1}(e)$ $e$ dónde está el elemento de identidad de $G$. ¿Si $$f_ (\pi1(H\times H,(h,h))) \subset p(\pi_1(H,h)),$$ then $f$ can be lifted to a map $g:H\times H \rightarrow H$ such that $p\circ g = f$ and $g(h,h) = h$. Suppose we have shown the "if" part, then $g$ should function as our multiplication map on $H$. But given any $x\in H$, why do we know that $g(x,h) = x$ and that $g(x,h)$ does not equal any other element of $p^{-1}(p(x))$?
Respuesta
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Considerar el mapa $k: H\to H$ de $k(x) = g(x,h)$. Entonces para cualquier $x\in H$, tenemos $$p\circ k(x) = p\circ g(x,h) = m\circ (p\times p)(x,h) = m(p(x),e) = p(x),$ $, lo que implica que el $k$ es un automorfismo de la cubierta $p$ (que también puede pensar de como una elevación de $p$). Tenga en cuenta también que $k(h) = g(h,h) = h$. Así $k$ y la identidad son dos automorphisms de $p$ que estoy de acuerdo en un punto, por lo que son iguales. Esto implica $g(x,h)=x$ % todos $x$.
