Para resolver esto, usted puede usar la función teórica de la descripción de los subespacios invariantes de la jornada conocida como Beurling del teorema. Identificar su espacio de Hilbert con el espacio de Hardy $H^2$ sobre el disco tal que $U$ se identifica con "la multiplicación por $z$". Beurling del teorema dice que cada subespacio invariante de $U$ tiene la forma $\phi H^2$ de un llamado interior de la función $\phi$, es decir, un almacén de la analítica de la función en el disco cuya radial (o no-tangencial) la función de límite tiene módulo 1 un.e. en el círculo.
En su problema, hay interiores de las funciones de $\phi_1$ $\phi_2$ tal que $M_1=\phi_1 H^2$$M_2=\phi_2 H^2$. Ha $\phi_1\in M_1\subset M_2$, lo $\phi_1=\phi_2 f$ algunos $f\in H^2$. El módulo de $f$ sobre el círculo es 1 un.e. debido a $f=\phi_1/\phi_2$.e., y por lo tanto $f$ es un interior de la función. Supongamos, por el bien del argumento, que se puede escribir $f=gh$ para algunos no constantes interior de las funciones de $g$$h$, y deje $M=\phi_2 g H^2$. A continuación,$M_1\subset M\subset M_2$. Yo reclamo que las inclusiones son estrictas, y, más específicamente,$\phi_2 g$$M\setminus M_1$$\phi_2$$M_2\setminus M$. Esto equivale a lo mismo que decir que el $1/h$ $1/g$ (respectivamente) no son en $H^2$. Tenga en cuenta que $1/h$ $1/g$ tienen módulo 1 un.e. en el círculo, así que si estaban en $H^2$ que sería, de hecho, en $H^\infty$, y limitada por 1 en el disco. Pero $h$ $g$ están delimitadas por 1 en el disco y no constante, así que esto es imposible, mostrando que en el hecho de $1/h$ $1/g$ no $H^2$ como se reivindica.
Queda por ver qué $f$ tiene una factorización, y aquí es donde la hipótesis acerca de codimension se utiliza. Cada interno tiene una factorización en un producto de Blaschke veces un singular interior de la función. Si el singular parte de $f$ es trivial, puede ser un factor trivial por la ampliación de la correspondiente singular medida por los números entre 0 y 1. Si el Blaschke parte de $f$ tiene más de un factor, entonces los factores. Dado que $M_1\neq M_2$, $f$ no es constante, por lo que la única otra posibilidad es que el $f$ es un producto de Blaschke con un solo factor, un.k.una. un holomorphic automorphism del disco. Afirmo que esto implicaría que $M_1$ ha codimension 1 en $M_2$, y más específicamente $M_2=M_1 + \mathbb{C}\phi_2$. Para ver esto, vamos a $\alpha$ ser el cero de $f$, y deje $G=\phi_2 H$ ser un elemento de $M_2$. A continuación,$G=\phi_2 f\frac{H-H(\alpha)}{f}+\phi_2 H(\alpha)\in M_1+\mathbb{C}\phi_2$. Q. E. D.
Para más detalles sobre factorizations de interior en funciones y más información, vea el Capítulo 2 del libro que se llama en la pregunta.
(Como para la edición, que no siempre pueden llevar a $M=UM_2$. Deje $0<|\alpha|<1$, y deje $\phi_\alpha$ ser el holomorphic automorphism del disco de swaps 0 y $\alpha$, $\phi_\alpha(z)=\frac{\alpha-z}{1-\overline{\alpha}z}$. Supongamos que $M_2=H^2$$M_1=\phi_\alpha^2 H^2$. A continuación, su hipótesis se cumplen, sino $M_1$ no está contenido en $UM_2$ porque $\phi_\alpha^2$ no $UM_2$.)
