Teorema 2D Gauss vs teorema de residuos

Question

Yo solía tener una vaga sensación de que el residuo es el teorema de una estrecha analogía con 2D de la electrostática en la que los residuos que ellos mismos juegan un papel de punto de cargos. Sin embargo, las ecuaciones no cuadran. Si partimos de 2D electrostática dada por $$\frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} = \frac{\rho}{\epsilon_0},$$ where the charge density $\rho = \sum_i q_i \delta(\vec{r}-\vec{r}_i)$ consists of point charges $q_i$ located at positions $\vec{r}_i$, and integrate over the area bounded by some curve $\mathcal{C}$, we find (using Green's theorem) $$\int_\mathcal{C} (E_x\, dy - E_y\, dx) = \frac{1}{\epsilon_0} \sum_i q_i.$$ Now, I would like to interpret the RHS as a sum of residua $2\pi i\sum_i \text{Res}\, f(z_i)$ of some analytic function $f(z_i)$ so that I would have the correspondence $$q_i = 2\pi i\epsilon_0 \text{Res}\, f(z_i).$$ For this to hold, the LHS would have to satisfy $$\int_\mathcal{C} (E_x\, dy - E_y\, dx) = \int_\mathcal{C} f(z)\, dz,$$ however, it is painfully obvious that the differential form $$E_x\, dy - E_y\, dx = -\frac{1}{2}(E_y+iE_x)dz + \frac{1}{2}(-E_y + iE_x)dz^*$$ can never be brought to the form $f(z)dz$ for an analytic $f(z)$.

Así, parece que realmente no hay ninguna analogía directa entre 2D ley de Gauss y el teorema de los residuos? O me estoy perdiendo algo?

Answer 1

De hecho hay una conexión. El holomorphy se ve fácilmente en el potencial electrostático.

En un cargo de libre (de dos dimensiones) de la región, el potencial electrostático resuelve la ecuación de Laplace y, por tanto, es una función armónica. Las partes real e imaginaria de un holomorphic la función armónica de funciones y por lo tanto el potencial electrostático puede ser identificado con, digamos, la parte real de un holomorphic función. En más detalle, vamos a escribir (con $z=x+iy$) $$ f(z) = \phi(x,y) + i\ \psi(x,y)\ , $$ el que elegimos para identificar la parte real con el potencial electrostático. Se puede comprobar que de Cauchy-Riemann condiciones implican que $\mathbf{E}\cdot \nabla \psi=0$. Esto implica que el $\psi=$ constante de las líneas son las líneas del campo electrostático.

La adición de un punto de carga, implica que es armónica en todas partes, excepto en la ubicación de la carga. La función relevante es $f(z) = \lambda \log (z-z_0)$ donde $z_0$ es la ubicación de la carga y $\lambda$ es proporcional a la carga. La conexión con el teorema de los residuos sigue desde $f'(z)$ tiene una simple poste de $z_0$ con residuo $\lambda$.

Answer 2

La analogía de la siguiente manera con el derecho de las definiciones. El "flujo" de la "vector" $E(z)$ a través de un contorno $\Gamma$$\mathrm{Re}\left(\int_\Gamma E(z)^*\,\mathrm{d} z\right)$.

Creo que usted puede haber olvidado el conjugado en la relación entre el "campo Eléctrico" y el complejo de potencial $\Omega$: $E(z) = -(\mathrm{d}_z \Omega(z))^*$.

Por lo que es el conjugado de a $E(z)$, no $E(z)$ sí, que es holomorphic, está dada por $E(z)^* = -\mathrm{d}_z\Omega(z)$. El trabajo de la dirección de los vectores de la de Cauchy-Riemann relaciones y usted verá que usted necesita un conjugado para hacer $-\nabla \phi$ igual a la parte real de la derivada $-(\mathrm{d}_z\Omega(z))^*$.

Por lo tanto $\mathrm{Re}\left(\int_\Gamma E(z)^*\,\mathrm{d} z\right)$ es la parte real de un día a día de contorno integral y el flujo es por lo tanto la parte real de la $2\,\pi\,i$ veces la suma de los residuos en los polos de $E(z)^*$, de donde el 2D de Gauss la ley de la siguiente manera.