¿Por qué es el volumen de un paralelepípedo igual a la raíz cuadrada de $\sqrt{det(AA^T)}$

Question

¿Por qué es el $\sqrt{det(AA^T)}$ igual al volumen de un paralelepípedo?

Es de alguna manera está relacionado con el hecho de que $det(A) = det(A^T)$?

EDIT: Para aclarar, el paralelepípedo es generado por las columnas de A.

Answer 1

Vamos a definir el área de un paralelogramo como $\lVert a_1\rVert\lVert a_2\rVert\sin\theta$ y ver que es igual a $\lVert a_1\rVert\lVert a_2\rVert\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{\lVert a_1\rVert^2 \lVert a_2\rVert^2-\langle a_1, a_2\rangle^2}$. La expresión bajo la raíz cuadrada es la determinante de la Gramian matriz $A^TA$ donde $A=\big(a_1 \enspace a_2\big)$. La misma expresión $\sqrt{\det(A^TA)}$ $A=\big( a_1\; a_2\; ...\;a_k\big)$ puede ser utilizado para buscar ydefinir el volumen de un paralelepípedo y k-parallelotope en mayor n-dimensional de los espacios. Tenga en cuenta que mientras que $A$ no puede ser una matriz cuadrada, $A^TA$ siempre.

Answer 2

Denotan los vectores correspondientes a las paralelepípedo de aristas por $\vec a,\vec b,\vec c$. El volumen es igual al valor absoluto de la mezcla de producto de estos tres vectores $$\operatorname{Vol}(\mathcal P)=\left|\,\vec a\cdot\left(\vec b\times\vec c\right)\right|.\tag{1}$$ Por otro lado, el producto mezclado se pueden calcular en el sistema de coordenadas cartesianas: desde $$\vec b\times \vec c= \left(b_yc_z-b_z c_y\right)\vec e_x+\left(b_zc_x-b_x c_z\right)\vec e_y+\left(b_xc_y-b_y c_x\right)\vec e_z,$$ tenemos \begin{align}\vec a\cdot\left(\vec b\times\vec c\right)&=a_x\left(b_yc_z-b_z c_y\right)+a_y\left(b_zc_x-b_x c_z\right)+a_z\left(b_xc_y-b_y c_x\right)=\\&= \operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc} a_x & b_x & c_x \\ a_y & b_y & c_y \\ a_z & b_z & c_z\end{array}\right)=\operatorname{det} A. \end{align}

Answer 3

Escribir $A= QR$ $Q$ ortogonal y $R$ triangular superior, por lo que $$ vol(A) = vol(R) $$

A continuación, utilizando la fórmula habitual para el volumen de el triángulo, el volumen de $R$ es el valor absoluto de los) producto de sus diagonales valores. Entonces: $$ vol(R) = \prod_{i=1}^d |R_{ii}| = |\det R| $$ Por lo tanto $$ vol(A) = vol(R) = |\det R| = |\det a| = \sqrt{\det AA^T} $$

Answer 4

Este ejercicio no es muy interesante, excepto si $A$ $n\times m$ matriz con $n<m$. A continuación, $\det(AA^T)$ es la suma sobre todas las opciones de $n$ distintas columnas $C_{i_j}$ $A$ - de los cuadrados de los volúmenes de la parallelepipeds se extendió por el $C_{i_1},\cdots,C_{i_n}$.