$(x+y+z)^3-(y+z-x)^3-(z+x-y)^3-(x+y-z)^3=24xyz$ ?

Question

La pregunta formulada es

Demuestra que $(x+y+z)^3-(y+z-x)^3-(z+x-y)^3-(x+y-z)^3=24xyz$ .

Lo que he intentado es suponer $a=(y+z-x),\ b=(z+x-y)$ y $c=(x+y-z)$ y luego señaló que $a+b+c=x+y+z$ . Así que el enunciado de la pregunta se reduce a $(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)$ . Luego traté de invocar la identidad $(a^3+b^3+c^3-3abc)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)$ sumando y restando $3abc$ en el enunciado de la pregunta. Después de hacer todo esto, cuando volví a sustituir los valores de $a,b$ y $c$ , terminé con el enunciado de la pregunta inicial.

Se agradecerá cualquier sugerencia.

Answer 1

Poner $z = 0$ el LHS desaparece. Así que $z$ debe ser un factor. Por simetría $xyz$ debe ser un factor. Como el LHS es de tercer grado, el único otro factor debe ser una constante, prueba $x=y=z=1$ para conseguir que...

Answer 2

SUGERENCIA:

Siguiendo tu camino,

$$(a+b+c)^3-(a^3+b^3+c^3)=3(a+b)(b+c)(c+a)$$

Answer 3

Observe que,

$\begin{align}(x+y+z)^3-(x+y-z)^3&=2z\left((x+y+z)^2+(x+y-z)^2)+(x+y)^2-z^2\right)\\&=2z\left(3(x+y)^2+z^2\right)\tag{1}\end{align}$

y,

$\begin{align}(x-y-z)^3-(x-y+z)^3&=-2z\left((x-y-z)^2+(x-y+z)^2)+(x-y)^2-z^2\right)\\&=2z\left(3(x-y)^2+z^2\right)\tag{2}\end{align}$

Por lo tanto,

$(x+y+z)^3+(x-y-z)^3-(x-y+z)^3-(x+y-z)^3\\=\bigl((x+y+z)^3-(x+y-z)^3\bigr)+\bigl((x-y-z)^3-(x-y+z)^3\bigr)\\=2z\left(3(x+y)^2+z^2\right)-2z\left(3(x-y)^2+z^2\right)\\=2z(3\cdot 4xy)\\=24xy$

Answer 4

Tetraedro de Pascal (o de Tartaglia): el esquema de la izquierda es una expansión binomial de $(x+y)^3$ mientras que el contorno derecho es una expansión binomial de $(x+z)^3$ y el contorno inferior es una expansión binomial de $(y+z)^3$ . Cada una de ellas está resaltada en amarillo para su identificación. Además, puedes notar que los términos de mayor potencia están situados en los vértices, porque los coeficientes de esos términos son "1". Imagínate que reescribes esta ecuación de forma "gráfica", tratando las expresiones en triángulos como los componentes de una matriz (que contrae los términos de la suma): De ahí el reclamo.