Interesante manera de evaluar $ \int \cos^3 x\ dx$

Question

He leído estos días un buen camino para la integración de $\cos^3x$:

Primer derivado $$f = \cos^3(x)$$

$$f'= -3\cos^2(x)\sin(x)$$ $$f''= 6\cos(x)\sin²(x) - 3 \cos^3(x)$$ $$f''= 6\cos(x)(1-\cos^2(x)) - 3f$$ $$f''= 6\cos(x)-6\cos^3(x)-3f$$ $$f''= 6\cos(x)-9f$$ $$f''= 6\cos(x)-9f$$ Luego de integrar $$f'= 6\sin(x) -9\int f$$ Por lo tanto,

$$\int f=\frac 23 \sin(x) - \frac {f'} 9$$

¿Conoces alguna otra manera de calcular fácilmente esta integral ?

Answer 1

Quizás te va a gustar este método: \begin{eqnarray} \int\cos^3xdx&=&\int\cos^2xd\sin x\\ &=&\int(1-\sin^2x)d\sin x\\ &=&\sin x-\frac13\sin^3x+C. \end{eqnarray}

Answer 2

Euler enfoque:

\begin{align}\int\cos^3(x)~dx&=\int\left[\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2\right]^3~dx\\&=\int\frac{e^{3ix}+3e^{ix}+3e^{-ix}+e^{-3ix}}8~dx\end{align}

En este punto, o bien integrar directamente, y, a continuación, observe la resultante de las funciones seno, o el aviso de que

$$\frac{e^{3ix}+e^{-3ix}}8=\frac14\cos(3x)\\\frac{3e^{ix}+3e^{-ix}}8=\frac34\cos(x)$$

Y por lo tanto el resto es simple.

Answer 3

Las dos técnicas.

(1) el Uso que $\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x$ para obtener:

$$\int \cos^3 x \,dx = \frac{1}{4}\int\left(\cos 3x +3\cos x\right)\,dx$$

y el lado derecho es fácil de calcular, como $\frac{1}{12}\sin 3x +\frac{3}{4}\sin x$.

(2) el Uso de la tangente de la mitad de ángulo de sustitución, $t=\tan(x/2)$$dx = \frac{2t}{1+t^2}\,dt$$\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$.

Esto se reduce a:

$$\int \frac{2t(1-t^2)^3}{(1+t^2)^4}\,dt$$

Dejando $u=1+t^2=\sec^2(x/2)$, esto es:

$$\int\frac{(2-u)^3}{u^4}\,du$$

Answer 4

\begin{eqnarray*} \int \cos^3(x) dx &=& \int (1-\sin^2(x)) \cos(x) dx = \int \cos(x) dx - \int \sin^2(x) \cos(x) dx \\ \int \cos(x) dx &=& \sin(x) + C_1 \end{eqnarray*} Ahora, tenemos que integrar a $\sin^2(x) \cos(x)$. Hacemos esto con la sustitución de $u = \sin(x)$. \begin{eqnarray*} \int \sin^2(x) \cos(x) dx &=& \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C_1 \\ \int \sin^2(x) \cos(x) dx &=& \frac{\sin^3(x)}{3} + C_1 \\ \int \cos^3(x) dx &=& \sin(x) - \frac{\sin^3(x)}{3} + C \\ \end{eqnarray*}

Answer 5

Muy diferente enfoque sería el uso de integración por partes. La reescritura de $cos^3x$ $(cos^2x)(cosx)$ y elija $f=cos^2x$$g'=cosx$, luego de la integración por partes da $\int{cos^3}dx=sinxcos^2x+2\int{cosxsin^2x}dx$. Cuando vuelva a $sin^2x=1-cos^2x$ recibe otra $cos^3x$ plazo detrás de un signo integral. De esta manera se puede resolver una ecuación en términos de $\int{cos^3x}dx$.