¿Qué podemos aprender simplemente a partir de la existencia de una (no constante) functor a la categoría de abelian grupos?

Question

Tengo que admitir que la siguiente es una pregunta muy amplia. Así que si usted siente que es demasiado vago por favor, dígalo. También podría ser que no he leído lo suficiente acerca de la categoría de teoría y mi pregunta es tonta. Si es así, por favor, seleccione el que fuera :-) Yo también sería feliz si alguien me hace dirigirme a alguna referencia. Si hay más para aprender mediante la sustitución de "abelian grupos" con cualquier otra categoría, también estoy feliz.

Hay muchos ejemplos en las matemáticas, donde utilizamos algunos functor de alguna categoría $C$ a la categoría de abelian grupos y podemos aprender mucho acerca de la categoría original mediante el uso de nuestro conocimiento de abelian grupos y ciertas propiedades especiales de la functor. (Véase, por ejemplo, a la (Co)Homología, K-Teoría) Ahora mi pregunta es: ¿Podemos aprender algo acerca de los objetos en $C$ tan sólo de la existencia de tal (no constante) functor sin conocer todos los detalles sobre ella.

El único que es "obvio" que uso para mí es la capacidad para clasificar los objetos en la categoría originales por sus imágenes.

Una referencia más orientado a la formulación de la pregunta: Qué restricciones aparte de la functor de no ser constante debemos agregar a ser capaces de inferir algo interesante?

Todo lo mejor, Henrik

Answer 1

Existe una noción de un "grupo de objetos" en una categoría (con productos y una terminal de objetos), que es un objeto (acompañado por una colección de niza mapas) que simula el comportamiento de un grupo. Una forma equivalente de afirmar esto es que $G$ es un grupo de objetos en $C$ si para cada objeto $X \in C$ hay una estructura de grupo en la $\operatorname{Hom}(X,G)$ con la asignación $X \to \operatorname{Hom}(X,G)$ ser un functor contravariante $C \to \operatorname{Grp}$.

Viendo como esta functor viene con un par de condiciones asociadas, podría no ser el mejor candidato para responder a su pregunta. Sin embargo, esas condiciones son relativamente mínimas, y la naturaleza exacta de este functor no es parte de la definición, es decir, lo que los objetos se envían a qué grupos, etc.

Hace saber que algo es un objeto de grupo nos dicen algo con sentido? Yo así lo creo. Si $C = \operatorname{Diff}$, la categoría de suave colectores, entonces un grupo de objetos es una Mentira grupo. Si el colector es una Mentira grupo, siempre es parallelizable y orientables, y que la información no requiere de nosotros saber nada acerca de la Mentira de la estructura del grupo. Hay otros ejemplos en los que la mera existencia de algún tipo de estructura de grupo impone significativa las condiciones en nuestro objeto de estudio, y esta estructura de grupo puede ser codificada en la existencia de un cierto functor.

Answer 2

Sólo para dar un ejemplo, un tanto negativo espíritu, tenga en cuenta que si $\mathcal C$ es cualquier categoría equipado con un functor $U: \mathcal \to $ Conjuntos (por ejemplo, quizá $\mathcal C$ es la categoría de algún tipo de estructuras, y $U$ es el olvidadizo functor que sólo pasa para el conjunto subyacente). Dado cualquier conjunto $S$ podemos formulario la libre grupo abelian $\mathbb Z[S]$ tener $S$ como base. La composición,de la tenemos el functor $X \mapsto \mathbb Z[U(X)],$ que no nos diga mucho acerca de $\mathcal C$.

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Nota, sin embargo, que esto no es un estúpido ejemplo de lo que podría parecer, tampoco es tan absurdo como parece.

E. g. supongamos que $\mathcal C$ es de la categoría de los espacios topológicos, y $U$ es el functor $X \mapsto \pi_0(X)$ que envía un espacio a su conjunto de ruta de componentes conectados. A continuación, el compuesto functor considerado anteriormente es precisamente $H_0$ ($0$th homología de grupo), y esto no es un completo inútil functor.

Por supuesto, es mucho más interesante por el hecho de que es parte de la familia de functors $H_i$!

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¿Qué conclusión debemos sacar: tal vez la principal es que si, en algunas situaciones, usted puede encontrar un functor a abelian grupos, entonces, incluso si el functor de encontrar no parece muy interesante, vale la pena pensar en si (o los conceptos que subyacen a su construcción) puede ser enriquecido/generalizada/mejorado para algo más profundo. En el ejemplo anterior, el bastante ingenua idea de la "conectividad" de un espacio que puede ser mejorada a las nociones de "mayor conectividad", que conduce a la homología, homotopy, etc.

En más algebraicas contextos, bastante ingenuo construcciones a menudo puede ser extendida a los derivados de functors, que conduce a los ricos de las teorías de álgebra homológica.

Etc. ... .