Teoría de las Categorías vs. Álgebra Universal - ¿Alguna referencia?

Question

Después de ver la respuesta a la pregunta La teoría de categorías, una rama del álgebra abstracta , Me gustaría preguntar

¿Existe literatura que discuta la diferencia/indiferencia/comparación entre la teoría de categorías y el álgebra universal?

Answer 1

El álgebra universal analiza los sistemas algebraicos, como los grupos, los anillos, etc., independientemente de los elementos o los ejemplos específicos de dichos sistemas; analiza los sistemas algebraicos en general sólo en términos de los operadores y las relaciones entre dichos elementos. Un sistema algebraico se define como un conjunto no vacío con al menos una operación n-aria sobre él. Por ejemplo, en el álgebra universal, hablamos de la colección de todos los grupos como un conjunto con una operación asociativa binaria y 2 operaciones UNARIAS correspondientes a la identidad general y la inversa de cada elemento. No se permite discutir ningún aspecto específico de los elementos, sólo los principios generales exclusivos de los grupos. Las relaciones ecuacionales se añaden como axiomas. En resumen, se trata de un enfoque estrictamente "global" del álgebra, pero hay que tener en cuenta que es diferente del enfoque "global" de la teoría de las categorías, ya que sólo trata un tipo de objeto a la vez y no considera las relaciones entre colecciones de diferentes tipos de objetos.

La teoría de las categorías va un paso más allá al analizar las operaciones y relaciones entre diferentes tipos de colecciones de objetos - nótese que los objetos no tienen que ser necesariamente sistemas algebraicos - codificada por funtores y diagramas conmutativos.

En muchos sentidos, la teoría de categorías puede considerarse una generalización directa del álgebra universal, del mismo modo que la topología de conjuntos de puntos puede considerarse una generalización del cálculo ordinario y del análisis real y complejo. Mientras que la topología de conjuntos de puntos elimina las propiedades algebraicas y de ordenación específicas de los espacios euclidianos reales y complejos para dejar al descubierto las estructuras comunes que hacen posible la continuidad y la convergencia en dichos sistemas, la teoría de las categorías permite discutir las relaciones entre colecciones de "los mismos" objetos, mientras que el álgebra universal discute las operaciones internas de categorías únicas de un solo tipo, es decir, los sistemas algebraicos.

Al menos, así lo entiendo yo. ¿Eso ayuda?

Answer 2

No conozco ningún libro que haga de estas comparaciones su tema principal, pero los textos sobre el enfoque categórico del álgebra universal a menudo también discuten cómo su enfoque se relaciona con el álgebra universal "tradicional".

Creo que la tesis de Lawvere de 1963, disponible como reimpresión comentada es probablemente la mejor manera de empezar. Además de la ventaja obvia de estar disponible disponible, es del principal inventor de este tipo de álgebra categórica, incluye comentarios de 2004 sobre el desarrollo posterior y también tiene referencias referencias adicionales. Los tratamientos de libros de texto son el artículo de Pedicchio y Rovatti, el libro de Pareigis y el pequeño libro de Wraith (todos citados en las referencias de lo anterior en la página 20f).

Otro buen tratamiento de libro de texto junto con la discusión se proporciona en el capítulo 3 del libro de Borceux "Álgebra Categórica II".

Francis Borceux, Manual de álgebra categórica. 2, Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones 51, Cambridge University Press, 1994

Los libros de texto un poco más antiguos son, por ejemplo

Ernest G. Manes, Teorías algebraicas, Graduate Texts in Mathematics, No. 26, Springer-Verlag, Nueva York 1976

Günther Richter, Kategorielle Algebra, Studien zur Algebra und ihre Anwendungen 3, Akademie-Verlag, Berlín 1979