negociación de

Question

Me pregunto si $7k-9$ es siempre una potencia de $2$.

Mi trabajo hasta el momento: si $k=2$,$7k-9 > 4$. Luego he comprobado si $7k-9$ es siempre divisible por $4$. Para $k=3$ es de hecho está. Para $k=4, 7k-9 > 16$. Así que he comprobado si $7k-9$ es siempre divisible por $16$ $k= 15$ es de hecho está. Yo podría ir y tratar con $32$ pero no me siento inclinado a hacerlo. ¿Hay algún método más sencillo de cómo determinar si $7k-9$ es siempre una potencia de $2$?

Answer 1

Necesitamos $\displaystyle 2^a=7k-9$ para algunos entero $a\ge0$

$\displaystyle\implies 2^a\equiv-2\pmod7$

Pero $2^1\equiv2,2^2\equiv4\equiv-3,2^3\equiv1\pmod7$

Answer 2

Sugerencia $\ $ Si es así, $\rm\ mod\ 7\!:\ \color{#C00}2^n \equiv \color{#0A0}{-2}\ \overset{cubing}\Rightarrow \color{#C00}1 \equiv \color{#0A0}{-1}\ \Rightarrow\Leftarrow$