En el cuadrilátero convexo $ABCD$, que no es un paralelogramo, la línea que pasa a través de los centros de las diagonales $AC$ $BD$ cruza el segmento de $BC$$R$. Cómo probar que la suma de las áreas de los triángulos $ABR$ $CDR$ es igual al área del triángulo $ADR$? No tengo idea de cómo hacerlo. Esto puede ser demostrado con la geometría simple?
Esto es complicado.
Vamos a utilizar un sencillo hecho de que si se nos da puntos fijos $Y,Z$, y un punto de variable $X$ que cambios de forma lineal, a continuación, $[XYZ]$ cambios de forma lineal, donde $[\mathcal{F}]$ denota la orientada al área de $\mathcal{F}$.
Deje $M,N$ de los puntos medios de $AC, BD$. Utilizando el hecho de que sabemos que la función de $MN \ni X \mapsto [ABX]+[CDX]$ es lineal. Sin embargo $$[ABN]+[CDN]=\frac 12 [ABD] + \frac 12 [CDB] = \frac 12 [ABCD]$$ and $$[ABM]+[CDM]=\frac12 [ABC] + \frac 12 [CDA] = \frac 12 [ABCD]$$ so this function is actually constant. In particular $$[ABR]+[CDR]=\frac 12 [ABCD].$$ This implies that $$[DAR] = [ABCD]-([ABR]+[CDR])=[ABCD] - \frac 12 [ABCD]=\frac 12[ABCD] = [ABR]+[CDR].$$
Vamos a H y K ser los puntos medios de AC y BD respectivamente.
Para demostrar la necesaria, voy a romper la prueba en varias reclamaciones.
Reclamación #1: Cada cuadrilátero puede ser dividido en dos (una línea recta) en dos mitades que son iguales en área.
Después de unirse a AK y CK, ABCD, está dividida en 4 triángulos con [rojo] = [rosa] y [azul] = [verde]. Entonces, [rosa] + [azul] = [blanco] + [verde]. (Ver figura 1).
Construcción: (1) la elaboración de KE // AC corte AB en E; y (2) que la CE corte AK en J. Por "la igualdad de base, la igualdad de altitud" principio, [⊿AEJ] = [⊿CKJ]. Esto significa que podemos transformar ⊿AEJ para adaptarse a la posición de ⊿CKJ tal que [⊿BEC] = [quad AECD]. (Ver figura 3).
Después de la adición de ⊿RAD, el siguiente objetivo es llenar su área de piezas de quad AECD. ⊿RAD está parcialmente lleno por Quad APUD porque es común a ambos. Tenga en cuenta que [⊿AEP] = [⊿TUC] + [quad QPUT]. Este último es utilizado para cubrir parte de ⊿RAD mientras ⊿TUC es para ser conectado a ⊿de la COALICIÓN para formar la nueva ⊿TCD.
La pregunta que queda es "[⊿TCD] = [⊿RQT]?" Hemos terminado si podemos probar DQ // BC.
Reclamación #2: BVDC es un paralelogramo.
Además de la construcción necesaria: (1) Ampliar la CK a V tal que AV // HK; (2) Unirse a BV.
La aplicación de interceptar el teorema de ⊿CAV, hemos CK = KV. Esta y con el BK = KD hacer BVDC un paralelogramo.
Este enlace da una gran representación visual de esta prueba.
https://www.mathsisfun.com/geometry/quadrilaterals-interactive.html.
Analíticamente, he creado una complicada prueba por medio de la ecuación de la base*altura/2 = area_of_a_triangle y cos(ángulo)*altura = base para cada alternativa de solución de conflictos Y de CDR Y ADR y resuelto por una común relación. Recomiendo buscar otro camino.
Lo siento, me retiro (no completamente ; ver en la parte inferior) lo que he dicho. Yo había leído "la línea $AB$" en lugar de "segmento de $AB$".
Sin embargo, creo que, en lugar de "la línea que pasa..." uno se debe haber encontrado "en el caso en que la recta que pasa por los puntos medios $I$ et $J$ cruza segmento de $[BC]$, entonces ...".
He mirado por una prueba geométrica, pero no encontró ninguno. Aquí es una prueba analítica.
Tomar el eje de coordenadas tal que $B(-1,0)$ $C(1,0)$ (sin pérdida de generalidad). Deje $A(a,b)$$D(c,d)$. Deje $R(r,0)$.
La condición de colinealidad entre las $R$ $I,J$ es
$$\begin{vmatrix}r&\frac{a+1}{2}&\frac{c-1}{2}\\ 0&\frac b2&\frac d2\\ 1&1&1\end{vmatrix}=0 \ \ \Rightarrow \ \ r=\dfrac{b+d+ad-bc}{2(d-b)} \ \ (1)$$
Ahora, es una cuestión de (bastante simple) cálculo para comprobar que la diferencia de las áreas de:
$$\delta=A(ABR)+A(CDR)-A(ADR)$$ es cero. De hecho,
$$\delta=\frac12det(\vec{RB},\vec{RA})+\frac12det(\vec{RC},\vec{RD})-\frac12det(\vec{RD},\vec{RA})$$
que es equivalente (después de la multiplicación por $2$) a:
$$2\delta=\begin{vmatrix}a-r&-1-r\\b&0\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}1-r&c-r\\0&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a-r&c-r\\b&d\end{vmatrix}$$
Expansión de la expresión anterior y sustituir por el valor de $r$ dada por (1) da $\delta=0$, como se desee.
Tenga en cuenta que una condición de la existencia de $R$$b \neq d$, es decir, trapecios no son aceptados (uno puede comprobar que en efecto, que, en tal caso, la línea de $IJ$ es paralelo a $BC$).
Comentario: El resultado, la verdad para $R \in [BC]$, no es cierto si la línea que une los puntos medios de las diagonales se cruzan la línea BC fuera del segmento [BC], si seguimos trabajando con unsigned áreas.
Aquí es un contraejemplo.
Deje $A(0,2), B(1,0),C(2,0),D(3,1)$.
Esto da por los puntos medios: $I(1,1)$$J(2,1/2)$. Por lo tanto $R(3,0)$.
Las áreas se $A(ABR)=2, A(CDR)=1/2$, mientras que de $A(ADR)=3/2$ en lugar de $5/2$.
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