mostrando $\|x\| \leq \lim_{n\to \infty} \inf \|x_n\|$

Question

mostrando $$\|x\| \leq \lim_{n\to \infty} \inf \|x_n\|$$ where $x_n \a x$ débilmente, y estamos trabajando bajo una normativa espacio.

Me da una pista de que $$\|x\| = \sup_{\|\phi\| = 1} |\phi(x)|$$ where $\phi \X^\estrella de dólares.

Mi idea era elegir a $\phi$ s.t. $\phi(x) = \|x\|$, y de alguna manera el uso de la pista. La sugerencia, sin embargo, dice que para este particular, la phi que tenemos que $\|x\| \geq |\phi(x)| = \lim_{n \to \infty} |\phi(x_n)|$ que ya está en la dirección incorrecta. Cualquier orientación, por favor.

Answer 1

Así, desde la sugerencia le dice que $ \|x\| = \sup\{|\phi(x)|, \|\phi \|=1\}$, se puede ver que el problema es equivalente a probar que $|\phi(x)| \le \liminf \|x_n\|$ por cada $\phi \in X^*$ de la norma 1. Ahora, para demostrar que, podemos utilizar el hecho de que $(x_n)$ converge débilmente a escribir $\displaystyle |\phi(x)| = \lim_{n \to\infty} |\phi(x_n)| = \liminf |\phi(x_n)| \le \liminf \|x_n\|$ por cada $\phi \in X^*$ de la norma 1.