Demostrar que la ecuación de $x^2+y^2+z^2=(x-y)(y-z)(z-x)$ tiene una infinidad de soluciones en enteros $x,y,z$

Question

Mientras que la solución de algunos de los antiguos INMO problemas que he encontrado que uno, y estoy completamente atascado en ella. El problema es:

Demostrar que la ecuación de $x^2+y^2+z^2=(x-y)(y-z)(z-x)$ tiene una infinidad de soluciones en enteros $x,y,z$.

Voy a estar agradecido si me puedes proporcionar consejos o sugerencias. Gracias.

Answer 1

En lugar de resolver

$$x^2+y^2+z^2 = (x-y)(y-z)(z-x) \tag{*1}$$

una mirada a un problema más sencillo primero. Digamos que usted ha encontrado un no-trivial entero solución para $$(u-v)(v-w)(w-u)|u^2+v^2+w^2\tag{*2}$$

uno puede establecer $\lambda$ a el entero $\displaystyle\;\frac{u^2+v^2+w^2}{(u-v)(v-w)(w-u)}\;$ $(x,y,z) = (\lambda u,\lambda v, \lambda w)$ nos dará una solución para $(*1)$.

Resulta que no es tan difícil de encontrar soluciones para $(*2)$. Uno acaba de tomar cualquiera de los dos no-cero enteros $p, q$,$(u,v,w) = (v-p,v,v+q)$, y busca la expresión de $v$, lo que hace que $$pq(p+q) \;|\; (v-p)^2 + v^2 + (v+q)^2 = 3v^2 -2(p-q)v + (p^2+q^2)$$

Para $p = q = 1$, nos encontramos con

$$(u,v,w) = (2t-1,2 t,2t+1) \quad\implica\quad \lambda = \frac{(2t-1)^2 + (2t)^2 + (2t+1)^2}{(-1)(-1)(2)} = 6t^2+1 $$ Esto nos dará una parametrización de la familia de solución de $(*1)$ $$(x,y,z) = ((2t-1)(6t^2+1), 2t(6t^2+1), (2t+1)(6t^2+1))$$

Esto demuestra la ecuación original $(*1)$ tiene una infinidad de soluciones.

Otras soluciones pueden ser construidos de manera similar. Por ejemplo, tome $p = 1, q = 2$, nos encontramos con $v = 6t-1$ nos dará otra familia de soluciones: $$(x,y,z) = ((6t-2)(18t^2-4t+1),(6t-1)(18t^2-4t+1),(6t+1)(18t^2-4t+1))$$ La pregunta más interesante es la de si existen algunas formas sistemáticamente de escape de todas las soluciones de $(*1)$ y no tengo idea de en que.

Answer 2

En este tipo de problemas cuando tiene que demostrar que hay infinitamente muchas soluciones es conveniente buscar posibles valores en P. A. por Lo tanto, supongamos que $z-y=y-x=k$, $z-x=2k$ y la ecuación se convierte $$x^2+(x+k)^2+(x+2k)^2=2k^3.$$

Así que, después de un poco de cálculo obtenemos la ecuación $3x^2+(6k)x+(5k^2-2k^3)=0$. Usando la fórmula de la ecuación cuadrática nos da $$x=\frac{-6k\pm \sqrt{(6k)^2-12(5k^2-2k^3)}}{6}=-k\pm \frac{k\sqrt{6(k-1)}}{3}.$$

Ahora, dado que desee $x\in \mathbb{Z}$ necesitamos ese $6(k-1)=u^2$ algunos $u\in \mathbb{Z}$. A continuación,$6\mid u^2$, lo $6\mid u$ (żpor qué?). Set $u=6t$, con lo que obtenemos $k=6t^2+1$ y por lo tanto tenemos $x=-(6t^2+1)\pm (6t^2+1)(2t)$. Si tomamos el signo más llegamos $x=12t^3-6t^2+2t-1$. Ahora, desde la $y=x+k$$z=x+2k$, en sustitución de $x$ nos da $y=12t^3+2t$$z=12t^3+6t^2+2t+1$.

Finalmente, se puede comprobar que $$(12t^3-6t^2+2t-1)^2+(12t^3+2t)^2+(12t^3+6t^2+2t+1)^2=2(6t^2+1)^3.$$

Por lo tanto, la ecuación tiene infintely muchos entero de soluciones.

Answer 3

Estas son todas las soluciones con $$ -2 \leq x < y < z < 1700. $$ Por alguna razón, hay sólo un par de soluciones con algunos positivos entradas y algunos negativos, que probablemente tiene una breve prueba. De todos modos, una vez que los tres son positivos y distintos, es fácil ver que podemos exigir $x<y<z.$

   x^2 + y^2 + z^2   x      y      z   x^2 + y^2 + z^2 FACTORED
          6         -2     -1      1              6 =  2 3     gcd(x,y,z) 1
          2         -1      0      1              2 =  2     gcd(x,y,z) 1
          6         -1      1      2              6 =  2 3     gcd(x,y,z) 1
        686          7     14     21            686 =  2 7^3     gcd(x,y,z) 7
      20250         55     85    100          20250 =  2 3^4 5^3     gcd(x,y,z) 5
      20250         60     75    105          20250 =  2 3^4 5^3     gcd(x,y,z) 15
      31250         75    100    125          31250 =  2 5^6     gcd(x,y,z) 25
      73002        115    161    184          73002 =  2 3 23^3     gcd(x,y,z) 23
     140250        175    205    260         140250 =  2 3 5^3 11 17     gcd(x,y,z) 5
     156750        155    250    265         156750 =  2 3 5^3 11 19     gcd(x,y,z) 5
     332750        275    330    385         332750 =  2 5^3 11^3     gcd(x,y,z) 55
     384846        259    266    497         384846 =  2 3 7^3 11 17     gcd(x,y,z) 7
    1647750        650    715    845        1647750 =  2 3 5^3 13^3     gcd(x,y,z) 65
    1825346        679    776    873        1825346 =  2 97^3     gcd(x,y,z) 97
    2409066        736    943    989        2409066 =  2 3^2 11 23^3     gcd(x,y,z) 23
    3188646        891   1053   1134        3188646 =  2 3^13     gcd(x,y,z) 81
    3188646        918    999   1161        3188646 =  2 3^13     gcd(x,y,z) 27
    2676750        775    790   1205        2676750 =  2 3 5^3 43 83     gcd(x,y,z) 5
    3668250        860   1195   1225        3668250 =  2 3 5^3 67 73     gcd(x,y,z) 5
    4276866       1063   1184   1321        4276866 =  2 3 11^2 43 137     gcd(x,y,z) 1
    5343750       1150   1175   1625        5343750 =  2 3^2 5^6 19     gcd(x,y,z) 25
    6885902       1359   1510   1661        6885902 =  2 151^3     gcd(x,y,z) 151
  x^2 + y^2 + z^2   x      y      z    x^2 + y^2 + z^2 FACTORED