$f = 0$ fuera de un conjunto de medida cero implica $\int_a^b f \, dx= 0$

Question

Dejemos que $f \colon [a,b] \to \mathbb R$ acotado, tal que $f(x) = 0$ por cada $x \in [a,b]$ excepto en un conjunto $J$ de medida cero. Cuando decimos que un conjunto $J$ tiene medida cero, si se da cualquier $\varepsilon > 0$ existe una colección contable de intervalos abiertos $( a_n ,b_n)$ tal que $J \subset \bigcup\limits_{n \in \Bbb N} (a_n ,b_n)$ y $\sum \limits_{n \in {\Bbb N}} (b_n - a_n) < \varepsilon$ . Demostrar que en el sentido de Riemann (no conozco otro sentido de integrales) la integral existe y $$ \int_a^b f (x) \, dx = 0. $$

La existencia es fácil, pero ¿cómo puedo demostrar la igualdad? Ayúdame con esto por favor. No uses las integrales de Lebesgue, porque no puedo usarlas en este ejercicio. Es de un curso de análisis real. Gracias.

Sé que este resultado es más general, En lugar de poner $f(x) = 0$ Puedo poner cualquier función integrable de Riemann, pero el caso general, sale como corolario trivial de esto. Así que por qué tratar de demostrar esto.

Answer 1

Habría pensado que la existencia sería más dura.

Suponiendo que ya has demostrado la existencia, deja que $\varepsilon>0$ y que $M$ sea el límite de $f$ .

Puede cubrir $J$ con un conjunto de intervalos cuya longitud acumulada es inferior a $\varepsilon$ .

Si se supone que todos los intervalos son disjuntos por pares, se obtiene que la integral está limitada desde arriba por $\varepsilon M$ y relajar esa demanda sólo puede reducir el valor de la integral.

Esto afirma que el valor de la integral puede ser acotado desde arriba por $\varepsilon M$ para cualquier $\varepsilon >0$ según sea necesario.

Answer 2

Por la razón que Michael Hardy indicó en un comentario, la afirmación es incorrecta. Si usted suponga que que la función es integrable de Riemann, entonces se aplica la respuesta de Shai Deshe.

Pero tienes razón en que si ambos $f$ y $g$ son integrables de Riemann y $f=g$ casi en todas partes, entonces $\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b g(x)\,dx$ . Esto podría demostrarse directamente utilizando un razonamiento similar al de la respuesta de Shai Deshe.

Mencionas que el problema inicial es un corolario trivial del caso más general (al menos creo que es lo que querías decir). ¡Pero resulta que el caso general es también un corolario trivial del caso especial! Si $f(x)=g(x)$ casi en todas partes y tanto $f$ y $g$ son integrables de Riemann, entonces $h(x)=f(x)-g(x)$ es integrable de Riemann, y $h(x)=0$ casi en todas partes. Así que $\int_a^b h(x)\,dx=0$ y como $\int_a^b h(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx$ el resultado general es el siguiente.