Demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty}x^n\frac{(n!)^3}{(3n)!}$ converge al $|x|$ < 27 y diverge cuando $|x| > 27$

Question

Esta es una tarea pregunta que me he atascado en... no estoy seguro de que probar a utilizar para probar esta afirmación. Si alguien pudiera dejarme saber al menos que probar a utilizar para empujarme en la dirección correcta que sería genial.

Answer 1

Sugerencia: Aplicar el test del cociente. ¿Por qué la prueba de razón? En cualquier momento hay factorial términos, y los poderes, funciona muy bien. Recordar que si $$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$$ then $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converges absolutely if $r<1$ and diverges if $r>1$.

Sugerencia 2: Para empezar en el límite, el aviso de que $$r=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x^{n+1}(n+1)!^3}{(3n+3)!}\biggr/ \frac{x^{n}(n!)^3}{(3n)!}$$ $$= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{x^{n+1}(n+1)!^3(3n)!}{x^n(n!)^3(3n+3)!}=x\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}.$$

Último paso: Este límite es $\frac{1}{27}$ así que podemos ver que $r=\frac{x}{27}$. Desde este momento es $r>1$ y cuando es $r<1$?