¿Es suficiente la descorrelación para el CLT?

Question

Estoy buscando un "contraejemplo" a una configuración de tipo límite central. Esta es mi pregunta: ¿Existe un ejemplo de una secuencia de variables aleatorias idénticamente distribuidas $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ con media cero y varianza 1, que sólo es INCORRELADA, pero no independiente (por lo que no tenemos una secuencia i.i.d.), que viola el enunciado del teorema central del límite, es decir, NO tenemos que $$T^{-1/2}\sum_{t=1}^TX_t \Rightarrow N(0,1), \quad \text{ as }\,\,T \rightarrow \infty.$$ (En particular, ¿hay algún ejemplo en el que la expresión anterior no converja en absoluto en la distribución?) Esto demostraría que la independencia en la CLT no puede debilitarse a la mera descorrelación. No consigo encontrar un ejemplo para lo anterior.

Muchas gracias por cualquier opinión.

Answer 1

Adaptando la indicación de @mike, prueba $X_n=Y_kZ_n$ por cada $\varphi(k)\leqslant n\lt\varphi(k+1)$ y cada $k\geqslant1$ , donde:

• $(\varphi(k))_{k\geqslant1}$ es una secuencia creciente tal que $\varphi(k)/\varphi(k+1)\to0$ (digamos, $\varphi(k)=k!$ ),
• $(Z_n)_{n\geqslant1}$ es i.i.d. centrado con varianza $1$ ,
• $(Y_k)_{k\geqslant1}$ es independiente de $(Z_n)_{n\geqslant1}$ .

La secuencia $(X_n)_{n\geqslant1}$ no está correlacionado y, para cada $n=\varphi(k+1)-1$ la suma normalizada $T_n=\frac1{\sqrt{n}}\sum\limits_{i=1}^nX_i$ es aproximadamente $Y_kZ$ en la distribución, donde $Z$ es el estándar normal.

Así, si $(Y_k)_{k\geqslant1}$ no converge en la distribución, ni tampoco $(T_n)_{n\geqslant1}$ . Un ejemplo sencillo es $Z_n$ estándar normal, $Y_{2k}=2Z$ y $Y_{2k-1}=3Z$ por cada $k\geqslant1$ . Entonces el conjunto de puntos límite de $(T_n)_{n\geqslant1}$ en la distribución es el conjunto de distribuciones normales centradas con varianza en $[2,3]$ .