Para una esfera de la superficie de la zona:
Divide la esfera en la plaza de parches, como lo haría con infinitesimals:
$$dA = \sin \theta R^2\ d\theta\ d\phi$$
$$\Delta A_{ij}
= \sin \left(\frac{i\pi}{N}\right) \frac{\pi}{N}\frac{2\pi}{M}R^2$$
Ahora se suma el uso de la siguiente identidad:
$$\sum_{j = 1}^{N} \sin{(j \theta)} = \frac{\cos{\left (\frac{\theta}{2} \right)} - \cos{\left ((N + \frac{1}{2})\theta \right )}}{2 \sin{ \left ( \frac{\theta}{2} \right )}}R^2$$
Así que:
$$S_{N,M} = \sum_{i=0,j=0}^{N,M}\sin \left(\frac{i\pi}{N}\right) \frac{\pi}{N}\frac{2\pi}{M} = \frac{2\pi^2}{N}
\frac{\cos{\left (\frac{\pi}{2N} \right)} - \cos{\left ((1 + \frac{1}{2N})\pi \right )}}{2 \sin{ \left ( \frac{\pi}{2N} \right )}}$$
Por lo tanto, el uso de $\lim_{x\to 0} \sin x/ x = 1$ tenemos:
$$S=\lim_{N\to\infty} S_N = 4\pi R^2$$
Addendum:
Aunque esto sucede a dar el resultado correcto, como otros han señalado, la definición correcta de la superficie está dada por la Medida de Lebesgue de la superficie, que involucran a encontrar el infimum de toda posible revisión de las divisiones.
Para una esfera de volumen con cubos:
Para hacer la vida más fácil, empezar con un hemisferio de radio $R$, y se dividen en $N$ discos. El área de cada disco puede ser calculada por la su $2D$ método y, a continuación, resumió.
Tenemos para cada disco a la altura de la $h=i\cdot R/N$, un radio de $\sqrt{R^2−h^2}$, de modo que el volumen de cada disco es:
$$V_i = \pi (R^2-h^2)R/N$$
Ahora suma de estos:
$$\frac{V_N}{2}\equiv\text{Hemisphere Vol.}=\sum_{i=1}^N \frac{\pi R^3}{N} \left(1-\frac{i^2} {N^2}\right)$$
utilizando la fórmula para las sumas de las potencias,
$$\sum_{k=1}^nk^2 = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$$
Obtenemos:
$$V_N=2N\cdot \frac{\pi R^3}{N} +
2N\cdot\frac{\pi R^3}{N^3}\left(\frac{2N^3 + 3N^2 + N}{6}\right)$$
$$= \pi R^3 \cdot\left(\frac{4 N-1/N-3}{3 N}\right)$$
Así que:
$$V\equiv \lim_{n\to\infty} V_N = \frac{4\pi R^3}{3}$$
