3 persona que apuesta basado en la percepción de las probabilidades de un resultado

Question

Supongamos que 3 amigos quieren apostar \$100 si el candidato John Doe va a ganar las próximas elecciones. Afirman su probabilidad percibida de que el evento ocurra:

• Alice cree que John Doe se gana con probabilidad $35\%$
• Bob cree que John Doe se gana con probabilidad $50\%$
• Charlie cree que John Doe se gana con probabilidad $40\%$

¿Cómo usted va sobre la configuración de esta apuesta?

En otras palabras, ¿qué cantidad de cada amigo puso abajo (las tres cantidades por un total de \$100) y lo que deben las rentabilidades se si Juan pérez es elegido, y lo que deben las rentabilidades se si John Doe pierde?

(Pedir a un amigo)

Answer 1

Este es un problema interesante. Pensé en él durante algún tiempo y creo que tengo una solución completa.

En primer lugar, vamos a ver cómo íbamos a responder a la pregunta de si hemos tenido sólo 2 personas. Decir, Alice cree que ocurrirá un evento con una probabilidad de $90\%$, mientras que Bob cree que ocurrirá con una probabilidad de $80\%$. Cómo hacer una apuesta de este evento? No es obvio.

Intuitivamente podemos pensar que las dos personas deben tomar posiciones opuestas, de lo contrario ambos serán los ganadores o perdedores en el mismo tiempo. Por otra parte, el uno con más confianza en el evento (Alice) deben tomar la for de la posición y la otra persona debe tomar la against posición. Vamos a probar esto más adelante, pero también hay otra pregunta importante: ¿qué probabilidades deben apuesta? Vamos a explorar el problema:

Supongamos que Alice apuestas $\$1$ on the for position (i.e. the event actually happening) How much should she make back to consider this a favourable bet for her? Let's name the return (i.e. the amount won) as $x$. Just to be clear, $x$ is the amount returned above the $\$1$ ella ya ha puesto en. En otras palabras, si Alice es de apuestas $\$1$ and wins, she is getting back $\$1+\$x$. To find $x$ de una evolución favorable de la apuesta, simplemente hacemos que el valor esperado de la apuesta positiva: $$0.9\cdot x - 0.1\cdot 1 > 0 \iff x > \frac{1}{9}$$

So if Alice bets $\$1$, que le gustaría que su oponente apuesta de al menos $\$1/9$. If we write this in the typical form of odds as opponent_bet:your_bet then Alice is looking for a $1/9:1 \el fib 1:9$ bet or better.

What if Alice wants to bet on the against position (i.e., the event not happening)? A favourable bet of $\$1$ sería uno con devolución $x$ donde $$0.1\cdot x - 0.9\cdot 1 > 0 \iff x > 9$$

The odds now are $9:1$. It is the reciprocal as we expected.

Doing the analysis for Bob we find that

• Bob betting on the for position wants odds $1:4$ o mejor
• Bob apuestas en la against posición quiere probabilidades de $4:1$ o mejor

¿Cómo podemos crear una apuesta justa entre los dos? Vamos a hacer una tabla con todos los posibles de la posición de combinaciones y condiciones para cada combinación

$$ \begin{array}{l|c|c} & \text{Alice for} & \text{Alice against} \\ \hline \text{Bob for} & \text{not a bet} & \begin{array}{c} & \text{Alice wants}\space x:1, \space \color{red}{x>9}\\ & \text{Bob wants}\space 1:x, \space \color{red}{x<4} \\ \end{de la matriz}\\ \hline \text{Bob contra} & \begin{array}{c} & \text{Alice wants}\space 1:x, \space \color{green}{x<9}\\ & \text{Bob wants}\space x:1, \space \color{green}{x>4} \\ \end{array} & \text{no es una apuesta} \\ \end{array} $$

As we see from the table, the only possible bet is when Bob bets against and Alice bets for. This is inline with our intuition that the person most confident should take the for position. We also know that an $x$ such that $4<x<9$ is acceptable for both Alice and Bob (in the sense that they both expect a positive gain). What is the most fair value however? Should we just take the middle value ($x=6.5$)? This might seem reasonable, but remember that odds are "multiplicative" entities, and taking "additive" averages might not work. Indeed the most fair selection of $x$ es la que produce los mismos valores esperados para ambas partes: $$0.2\cdot x -0.8 \cdot 1 = 0.9 \cdot 1 - 0.1 \cdot x\iff 0.3 \cdot x = 1.7 \iff x = \frac{17}{3} \approx 5.666$$ Así que Alice debe hacer la for apuesta con cuotas de $3:17$ y Bob hacer (todo lo contrario) apuesta con cuotas de $17:3$. Y si queríamos de apuesta $\$100$ in total, the bets would be $100\cdot 17/(17+3) = \$85$ para Alice y $100\cdot 3/(17+3) = \$15$ for Bob. Notice how Alice's bet is the average of their perceived likelihoods.

So if we know the perceived likelihoods for each of the two players, we can construct a fair bet. It's interesting to note that we can always construct a fair bet for two people, and that the closer the likelihoods are to each other, the smaller the gain both players expect. So if both Alice and Bob believe that the event happens with probability $80$, then the only fair bet is $%1:4 \espacio espacio\(4:1)$ and the expected gain for both of them is $0$. If, on the other hand, Alice believes the event will happen $90$ and Bob believes it will happen $%10$ of the time, then the fair bet is $%1:1$ and the expected gain of both players is $\$0.8$ para cada $\$1$ played. Just to be clear, this is the expected gain based on a player's perceived likelihood, it does not have to agree with the actual expected gain (in other words: people can have mistaken beliefs)

The case for 3 players

Let's examine what happens with 3 players. Let's take the particular example given in the question.

• Alice believes the event happens with probability $35\%$
• Bob cree que el evento ocurre con una probabilidad de $50\%$
• Charlie cree que el evento ocurre con una probabilidad de $40\%$

Esto nos da las siguientes probabilidades favorables para cada persona:

• Alice quiere apostar for $13:7$ (o mejor), o against $7:13$ (o mejor)
• Bob quiere apostar, ya sea for o against $1:1$ (o mejor)
• Charlie quiere apostar for $3:2$ (o mejor), o against $2:3$ (o mejor)

Vamos a construir la mesa de apuestas de nuevo. Con $3$ personas tenemos $2^3=8$ combinaciones. De manera similar a la de 2 personas caso, las combinaciones donde todo el mundo apuestas for o de todos en las apuestas against no son válidas las apuestas. Así que nos quedamos con 6 combinaciones de apuestas. ¿Qué condiciones ha de ser para cada combinación? Las cosas son más complicadas ahora que tenemos a 3 personas. Primero, vamos a revisar las condiciones para el 2-caso de persona. En el análisis anterior, me dijo que sin mucha explicación de que las condiciones para el 2-caso de persona este aspecto: $x:1$ para Alice y $1:x$ para Bob. Parece intuitivo, pero sería útil para derivar de ella para que podamos comprender las restricciones que estamos tomando y en los supuestos que estamos haciendo. Las condiciones iniciales para las 2 personas en el ejemplo debería haber sido: $$ \begin{array}{rc} \text{Alice wants odds } \space x:a, & \frac{x}{a}>\frac{1}{9} \\ \text{Bob wants odds } \space y:b, & \frac{y}{b}>\frac{1}{4} \\ \end{array} $$ Pero ahora tenemos 4 variables en lugar de uno! Esto es debido a que estas dos condiciones describir sólo lo que el las apuestas son favorables para cada jugador. Así que si Alice y Bob fueron apostar cualquier cantidad contra una casa de apuestas, estas son las condiciones que se iban a utilizar. Pero si queremos hacer de ellos apostar uno contra el otro , entonces tenemos que imponer más restricciones. Necesitamos restringir estas cantidades para que lo que un jugador apuesta es la (potencial) de ganar el otro jugador. Esto significa que $a=y$$b=x$. Con estas restricciones estamos a dos variables. ¿Cómo podemos eliminar otra variable? Ya que las probabilidades son, esencialmente, las proporciones, podemos simplemente normalizar uno de ellos mediante el establecimiento $a=1$. Esto es lo que implícitamente se hace cuando el análisis de las 2 personas en el caso anterior. Otro (quizás la mejor) opción para el tratamiento de la $x,y,a,b$ variables como las cantidades que se apostó y ganó. En este caso, si conocemos el total de la cantidad que queremos que nuestros jugadores apuesta (dicen $\$100$) we simply set $a+b=100 \iff a+x = 100$ which together with the equation of making the expected gains equal, yields a $2\times 2$ system. Its solution for the 2-person example we gave earlier results in $=85$ and $x=15$ as we have found before.

How does all these translate to the 3-person case? Let's take one particular combination where Alice bets against, while Bob and Charlie bet for. Also assume, as the question states, that all together are betting $\$100$. Aquí están los tres primeros condiciones favorables para las apuestas, junto con las tres restricciones adicionales que hacen de esta una apuesta válida entre Alice, Bob y Charlie : $$ \begin{array}{rl} \text{Alice wants odds } \space x:a, & \frac{x}{a}>\frac{7}{13} \\ \text{Bob wants odds } \space y:b, & \frac{y}{b}>\frac{1}{1} \\ \text{Charlie wants odds } \space z:c, & \frac{z}{c}>\frac{3}{2} \\ a &= y+z\\ x &= b +c\\ a+b+c &= 100 \end{array} $$

If we make the expected gains to be equal to each other in order to ensure the fairness criterion, we will get $2$ equations which along with the $3$ restriction make an underdetermined system with $5$ equations and $6$ variables. We could bring another restriction to force the system to have a unique solution (unique for a given betting combination out of the possible $6$), but there is no strong restriction I can think of. There are desirable properties such as maximising the product $a\cdot b\cdot c$ which means that we are trying to make the 3 bets as equal as possible (in other words, make it unlikely to have one person betting $\$98$ y las otras dos apuestas $\$1$). Or we can maximise the (equalised) expected gain, but note that this does not mean that everyone will get their best odds. In any case, I do not see these as necessary restrictions. We can have one or not. If not, we will have a infinite number of solutions (under the remaining restrictions) for each betting combination. The solutions ensure that everyone has a perceived positive gain, and that all the perceived gains are equal, so we have a fair solution.

Here are the 5 equations and the parametrised solutions for the case where Alice bets against, while Bob and Charlie bet for, and all together are betting $\$100$:

$$ \a la izquierda. \begin{array}{rl} 0.65\cdot x - 0.35\cdot a &= 0.5\cdot y - 0.5\cdot b \\ 0.5\cdot y - 0.5\cdot b &= 0.4\cdot z - 0.6\cdot c \\ a &= y+z\\ x &= b +c\\ a+b+c &= 100 \end{array} \right\} \iff \begin{array}{rl} x &= 39.62 - 0.077 \cdot t\\ y &= 48.85 - 1.231 \cdot t\\ z &= 11.54 + 1.310 \cdot t\\ a &= 60.38 + 0.077 \cdot t\\ b &= 39.62 - 1.077 \cdot t\\ c &= t \end{array} $$ (Solución proporcionada por esta herramienta en línea)

Nuestro parámetro (variable libre) es $t$, y se puede observar que en este caso en particular, afecta principalmente a $b,c,y,z$ y afecta mínimamente a la $a,x$. Cambiando el parámetro somos esencialmente cambiante de la relación "peso" entre Bob y Charlie ya que ambos toman en Alice. Por ejemplo, intente $t=19$ bastante equilibrada "peso" entre Bob y Charlie (donde Bob y Charlie apuesta casi igual cantidad).

Podemos encontrar soluciones similares (familias de soluciones) para las cinco restantes combinaciones de apuestas. Resulta que con este ejemplo (estas probabilidad de creencias) de los seis combinaciones pueden producir soluciones justas, aunque algunas combinaciones tienen un menor rango de soluciones que otros. Usted puede explorar el resto de las familias de soluciones de ti mismo, haciendo el mismo análisis y resolución equivalente a $5\times6$ sistemas.

Creo que este es un resultado interesante, y es totalmente resuelve este problema de apuestas.

Anexo

Incluyo aquí mi trabajo anterior sobre la 3 personas, caso en el fin de mostrar algunos de los avances de mis ideas. He creado una tabla con todas las combinaciones de apuestas y probado para proporcionar las condiciones para cada combinación. Me arbitrariamente restringida 3 de las variables a tomar valores específicos (pero aún cumpliendo todas las restricciones), y esto resultó en un $3\times3$ sistema de ecuaciones. Por ejemplo, para el caso que hemos estado analizando por encima de tomé $x = 7$, $b = 3$, $c=4$, satisfacer la condición de $x=b+c$. Yo no asumir que $a+b+c=100$. Este simplificar algunas expresiones y pude comprobar las condiciones de todas las combinaciones manualmente. Para tres de las combinaciones que no hay soluciones con esta elección arbitraria que he hecho (imposible condiciones están escritas en rojo en la tabla de abajo). Aquí está la tabla (nota: he cambiado el original de los nombres de las variables utilizadas, por lo que están de acuerdo con los nombres del resto de los análisis anteriores.)
$$ \begin{array}{l|c|c} & \text{Alice for} & \text{Alice against} \\ \hline \text{Bob for, Charlie for} & \text{not a bet} & \begin{array}{c} & \text{Alice wants}\space 7:a, \space \color{green}{a<13}\\ & \text{Bob wants}\space y:3, \space \color{green}{y>3} \\ & \text{Charlie wants}\space z:4, \space \color{green}{z>6} \\ & \color{green}{a = y + z} \end{de la matriz}\\ \hline \text{Bob, Charlie contra} y \begin{array}{c} & \text{Alice wants}\space x:7, \space \color{red}{x>13}\\ & \text{Bob wants}\space y:1, \space \color{red}{y>1} \\ & \text{Charlie wants}\space 8:c, \space \color{red}{c<12} \\ & \color{red}{x+y = c} \end{array} y \begin{array}{c} & \text{Alice wants}\space 7:a, \space \color{green}{a<13}\\ & \text{Bob wants}\space y:9, \space \color{green}{y>9} \\ & \text{Charlie wants}\space 2:c, \space \color{green}{c<3} \\ & \color{green}{a+c=y} \end{de la matriz}\\ \hline \text{Bob contra, Charlie} y \begin{array}{c} & \text{Alice wants}\space x:7, \space \color{red}{x>13}\\ & \text{Bob wants}\space 9:b, \space \color{red}{b<9} \\ & \text{Charlie wants}\space z:2, \space \color{red}{z>3} \\ & \color{red}{x+z=b} \end{array} y \begin{array}{c} & \text{Alice wants}\space 7:a, \space \color{green}{a<13}\\ & \text{Bob wants}\space 1:b, \space \color{green}{b<1} \\ & \text{Charlie wants}\space z:8, \space \color{green}{z>12} \\ & \color{green}{a+b=z} \end{de la matriz}\\ \hline \text{Bob contra, contra Charlie} & \begin{array}{c} & \text{Alice wants}\space x:7, \space \color{red}{x>13}\\ & \text{Bob wants}\space 3:b, \space \color{red}{b<3} \\ & \text{Charlie wants}\space 4:c, \space \color{red}{c<6} \\ & \color{red}{x=b+c} \end{array} & \text{no es una apuesta} \\ \end{array} $$

Applying these arbitrary restrictions we can see that only three combinations (the ones with conditions in green) offer viable solutions. A minor side note: these restrictions were not so arbitrary. They were chosen so that we get integer values in the conditions, so we can check easily and quickly if the conditions hold.

If we take the first of these valid betting combinations: Alice against, Bob for, and Charlie for, and apply the rule of equal expected gains we get:

$$ \a la izquierda. \begin{array}{rl} 0.65\cdot 7 - 0.35\cdot a &= 0.5\cdot y - 0.5\cdot 3\\ 0.5\cdot y - 0.5\cdot 4 &= 0.4 \cdot z - 0.6 \cdot 4\\ a = y + z \end{array} \right\} \iff \begin{array}{rl} a &= \frac{1179}{103} \approx 11.45\\ y &= \frac{421}{103} \approx 4.09\\ z &= \frac{758}{103} \approx 7.36 \end{array} $$

(Solution to the above $3\times3$ system provided by this online tool)

Which means Alice is betting against with odds $7:11.45$, Bob betting for with odds $4.09:3$,and Charlie betting for with odds $7.36:4$. How much should each person put in, if the total initial bet is $\$100$?

Para Alice debe ser $\frac{100 \times 11.45}{11.45+3+4} = \$62.06 $, for Bob $\frac{100\times 3}{11.45+3+4} = \$16.26 $, y para Charlie $\frac{100\times 4}{11.45+3+4} = 21.68\$ $.

This solution corresponds to our general/parametric solution where $t = habitaciones 21,68$

Answer 2

No sé exactamente qué quieres decir con "la creación de esta apuesta", pero asumiendo que cada individuo se apuesta sólo si se percibe la apuesta como justo, y que la cantidad de la apuesta se devuelve junto con el premio, como es habitual en el reino unido, las probabilidades debe ser

• $ 65:35 = 13:7\; against\; for\; A\; to\; bet,$

• $50:50 = 1:1 \; against\; for\; B\; to\; bet,$

• $60:40 = 3:2\; against\; for\; C\; to\; bet.$

Las anteriores probabilidades podría asegurar sin pérdida no hay ganancia para ellos, por lo que representa la peor de las probabilidades, respectivamente, a las que se debe de jugar, por ejemplo, en las probabilidades de $3:2$ contra, $C$ obtener $3+2$ dólares por cada dólar apostado, y acaba de romper incluso, y tiene una ganancia neta sólo con mejores probabilidades, e.g $\;3.5:2 = 7:4\;$ en contra.