$p(X)$ , $P(Y)$ , $p(Z) > 0$ y cada par de estos eventos es independiente, entonces $p(X \wedge Y \wedge Z) > 0$ ?

Question

¿Es cierta la siguiente afirmación o no?

Dejemos que $X$ , $Y$ , $Z$ sea $3$ eventos en el mismo espacio muestral tal que $p(X)$ , $P(Y)$ , $p(Z) > 0$ y cada par de estos eventos es independiente. Entonces $p(X \cap Y \cap Z) > 0$ .

Answer 1

No, la afirmación no es cierta. Por ejemplo $Ω=\{1,2,3,4\}$ con $p(ω)=1/4$ para cada $ω$ y que $X=\{1,2\},\, Y=\{2,3\}, \, Z=\{3,4\}$ . Entonces $$P(X\cap Y\cap Z)=P(\emptyset)=0$$ pero puede comprobar que $X,Y,Z$ son independientes entre sí con $P(X)=P(Y)=P(Z)=\frac12>0$ .