Cómo definir la multiplicación en $\mathbb{Z}$ con la divisibilidad y la suma?

Question

P: Mostrar que $(\mathbb{Z},|,+,0,1)$ define la multiplicación en $\mathbb{Z}$.

Yo sé cómo hacer esto en $\mathbb{N}$, pero estoy atascado tratando de hacer esto es $\mathbb{Z}$. La idea que tengo es la de definir el mínimo común múltiplo ($lcm$) y el uso de la propiedad de coprimes para definir $x^2$. Desde allí, $(x+y)^2$ me va a permitir definir $x\cdot y$.

Así que primero definir $$z = lcm(x,y) \iff x\mid z \land y \mid z \land \forall m(x \mid m \land y\mid m \rightarrow z \mid m).$$ Then I define $$2x^2 = x(x+1) + x(x-1) = lcm(x,x+1) + lcm(x,x-1).$$ However, I realised that my definition of $lcm(x,y)=z$ could give $z$ as either a negative or positive integer. Without the ordering relation ($<$), I am having difficulty finding a way to define $lcm$ such that I only get the positive $z$. ¿Cómo puedo superar esto?

Answer 1

Parece que me equivoqué en mi comentario y estos esquemas de inducción no son realmente necesarias. Ver esto, en esencia, la duplicación pregunta: Puede multiplicación se define en términos de divisibilidad?

Una sinopsis: $$ z = x*y \iff \\ \exists u,v,w (\text{Square}(x,u) \land \text{Square}(y,v) \land \text{Square}(x+y, w) \land w = u + v + z + z) $$

Sin embargo, ellos no aborda el problema de que el lcm se define en términos de la divisibilidad no es única. Un pensamiento: simplemente definir su LCM como un conjunto, y $$\text{Square(s,t)} \iff \exists u \in \text{LCM}(s,s+1): s+t = u $$

Observe que cuando se $s$ es negativo, por ejemplo,$s=-3$,$\text{LCM}(-3,-2) = \{6,-6\}$$-3 + 9 = 6$. Sin embargo, esta definición también hace $t=-3$ una posibilidad, que lo arruina todo.

Así que todavía tenemos que inductivamente definir los números positivos $P(x) \iff x = 0 \lor P(x-1)$ y afirmar el LCM es positivo.