Tengo un problema muy interesante que estoy tratando de resolver desde hace dos días.
$$\int_0^{\frac\pi2} \log(\cos(x))dx$$
Ya he probado la integración por partes, regla de la cadena. No tiene ningún sentido.
Sé (por una fuente fiable) que la función no tiene integral indefinida pero sí definida.
Gracias por ayudar
Ya que tenemos para todas las funciones integrables $f$ en $[0,a]$ siguiente: $$ \int_0^a f(x) dx =\int_0^a f(a-x)dx$$
también hemos $$C:=\int_0^{\frac\pi2} \log(\cos(x))dx =\int_0^{\frac\pi2} \log(\cos({\pi\over 2}-x))dx = \int_0^{\frac\pi2} \log(\sin(x))dx=:S$$
por lo que tenemos $$C+S=\int_0^{\frac\pi2} \log(\sin(2x)/2)dx={1\over 2}\int_0^{\pi} \log(\sin(t)/2)dt$$
Desde $$\int_0^{\pi} \log(\sin(t)/2)dt = 2\int_0^{\pi\over 2} \log(\sin(t)/2)dt = 2S-2\int_0^{\pi\over 2} \log(2)dt = 2S-\pi \log(2)$$
Así que $$C+S = S-{\pi\over 2} \log(2)$$ y $$C = -{\pi\over 2} \log(2)$$
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