La composición de las inyecciones (prueba)

Question

Estoy tratando de demostrar que la composición de las inyecciones es una inyección. Quiero saber si esto es una buena prueba de ello:

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La composición de las inyecciones es una inyección.

Deje $f:S_1\rightarrow S_2$ $g:S_2\rightarrow S_3$ ser inyecciones por las definiciones:

$1.~\forall x_1, x_2:x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)\\2.~\forall y_1, y_2:y_1\ne y_2\Rightarrow g(y_1)\ne g(y_2)$

a continuación, la composición de la $g\circ f(x)$ es una inyección.

Tenemos que demostrar:

$\forall x_1, x_2:x_1\ne x_2\Rightarrow g\circ f(x_1)\ne g\circ f(x_2)$.

Deje $x_1, x_2\in S_1$$x_1\ne x_2$, entonces por la primera definición de inyectividad de $f$, $f(x_1)\ne f(x_2)$. Deje $f(x_1)=y_1$$f(x_2)=y_2$. De ello se desprende que $y_1\ne y_2$. Luego por la segunda definición de la inyectividad de $g$, $g(y_1)\ne g(y_2)$.

Ecuaciones implica:$$g(y_1)\ne g(y_2)\\g[f(x_1)]\ne g[f(x_2)]\\g\circ f(x_1)\ne g\circ f(x_2).$$ Desde que empezamos con el general $x_1$ $x_2$ esto está demostrado.

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O sin la introducción de $y_1$$y_2$, tan sólo "... Por la segunda definición de inyectividad: $f(x_1)\ne f(x_2)$$g[f(x_1)]\ne g[f(x_2)]$. Por lo tanto, $x_1\ne x_2$ implican $g\circ f(x_1)\ne g\circ f(x_2)$."

Answer 1

Es bueno, pero probando de inyectividad es a menudo más fácil con el contrapositivo:

si $f(x_1)=f(x_2)$,$x_1=x_2$.

Así, supongamos $f$ $g$ son inyectiva y supongamos que $$ g\circ f(x_1)=g\circ f(x_2). $$ Esto significa $$ g(f(x_1))=g(f(x_2)) $$ que, por la inyectividad de $g$, implica $$ f(x_1)=f(x_2). $$ Inyectividad de $f$ nos permite argumentar que $$ x_1=x_2. $$

Como se ve claramente, estos son los mismos pasos que en su prueba; pero el ocuparse de la igualdad es psicológicamente más fácil de tratar con las desigualdades.

Answer 2

Se ve muy bien. Añadir en el $y_1$ $y_2$ es extraña, y algunas personas dejan que la salida de la prueba.